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ÉQUATIONS

On ne peut, que dans un cas particulier, savoir, lorsque $\omega =1,$ appliquer à (b) la méthode par laquelle nous avons réduit (a) à une équation du second ordre à deux variables.

Pour donner un exemple de l’intégration par d’autres méthodes, il faut nécessairement choisir une équation moins générale. Je vais employer les principes donnés par Euler, pour intégrer les équations à deux variables et par lesquels on peut aussi intégrer quelques équations partielles, sans les réduire auparavant à des équations ordinaires du second ordre. Soit donc L’équation

${\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} y\operatorname {d} x}}={\frac {\alpha }{y}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}+\xi y^{\beta }{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+\gamma \xi y^{\beta -1}z=0\,;$

$\alpha ,\beta ,\gamma$ étant des constantes, et $\xi$ une fonction de $x.$ Alors on a

$z=\psi +\int \xi \operatorname {d} x.y^{\alpha }\int y^{\beta -\alpha -\gamma }\left(y^{\gamma \psi }\right)'\operatorname {d} y$

$+\int \xi \int \xi \operatorname {d} x^{2}.y^{\alpha }\int y^{\beta -\alpha -\gamma }\left(y^{\alpha +\gamma }\int y^{\beta -\alpha -\gamma }\left(y^{\gamma \psi }\right)'\right)'\operatorname {d} y^{2}$

$+y^{\alpha \phi }+{\frac {\alpha +\gamma }{\beta }}y^{\alpha +\beta }\int \xi \phi \operatorname {d} x+{\frac {(\alpha +\gamma )(\alpha +\gamma +\beta )}{1.2.\beta ^{2}}}y^{\alpha +2\beta }\int \xi \int \xi \phi \operatorname {d} x^{2}+\ldots$

Maintenant il faut observer qu’entre les limites $0$ et $1,$ on a

$\int \left(1-t^{n}\right)^{\frac {p-n}{n}}t^{\gamma +(i+1)n-1}\operatorname {d} t=$

${\frac {\gamma (\gamma +n)\ldots (\gamma +in)}{(\gamma +p)(\gamma +p+n)\ldots (\gamma +p+in)}}\int \left(1-t^{n}\right)^{\frac {p-n}{n}}t^{\gamma -1}\operatorname {d} t$

en supposant que les constantes sont telles que l’intégrale ne devienne pas infinie entre ces limites, et que les mêmes conditions sont remplies dans le présent problème. En faisant

$u=\phi +t^{\beta }y^{\beta }\int \xi \phi \operatorname {d} x+t^{2\beta }y^{2\beta }\int \xi \int \xi \phi \operatorname {d} x^{2}+\ldots ,$

on aura, entre ces limites

$G\int \left(1-u^{\beta }\right)^{-{\frac {\alpha +\gamma }{\beta }}}t^{\alpha +\gamma -1}u\operatorname {d} t=\phi +{\frac {\alpha +\gamma }{\beta }}y^{\beta }\int \xi \phi \operatorname {d} x$

$+{\frac {(\alpha +\gamma )(\alpha +\gamma +\beta )}{1.2.\beta ^{2}}}y^{2\beta }\int \xi \int \xi \phi \operatorname {d} x^{2}+\ldots$

en supposant