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ÉQUATIONS

${\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}=\xi {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}-\varpi \nu {\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}+\varpi \omega z,$

$\xi ,\varpi ,\nu ,\omega$ étant des fonctions quelconques, les deux premières de $x$ et les deux dernières de $y.$ Alors, en faisant

$m=e^{\int {\frac {\omega }{\nu }}\operatorname {d} y},\qquad n=e^{\int \xi \operatorname {d} x},$

on aura

$z={\frac {1}{m}}\left\{\phi +\int {\frac {\operatorname {d} y}{\nu }}.{\frac {n}{\varpi }}\left({\frac {\phi '}{n}}\right)'+\int {\frac {1}{\nu }}\int {\frac {\operatorname {d} y^{2}}{\nu }}.{\frac {n}{\varpi }}\left({\frac {1}{n}}\left({\frac {n}{\varpi }}\left({\frac {\phi '}{n}}\right)'\right)'\right)'+\ldots \right\}$

Par le théorème de Parseval, et par la méthode générale exposée plus haut, on déduit cette série à l’intégrale d’une équation ordinaire du second ordre ; mais, dans un cas assez étendu, elle se réduit à la forme finie, par la méthode qu’a indiqué M. Laplace (Journal polytechnique, cahier VIII).

En effet, lorsque $\varpi =n^{2},$ on a

$z={\frac {1}{m}}\left\{\phi +\int {\frac {\operatorname {d} y}{\nu }}.{\frac {1}{n}}\left({\frac {\phi '}{n}}\right)'+\int {\frac {1}{\nu }}\int {\frac {\operatorname {d} y^{2}}{\nu }}.{\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{n}}\left({\frac {\phi '}{n}}\right)'\right)'\right)'+\ldots \right\}$

et, si l’on donne à la série

$\phi +\alpha {\frac {1}{n}}\phi '+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}{\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{n}}\phi '\right)'+{\frac {\alpha ^{3}}{1.2.3}}{\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{n}}\phi '\right)'\right)'+\ldots$

la forme

$\operatorname {f} \left(\int n\operatorname {d} x+\alpha \right),$

c’est-à-dire d’une fonction arbitraire de $\int n\operatorname {d} x+\alpha \,;$ en observant que, entre $\alpha =-\infty$ et $\alpha =+\infty ,$ on a

$\int e^{-\alpha ^{2}}\alpha ^{2\gamma }\operatorname {d} \alpha ={\frac {1.3(2\gamma -1)}{2^{\gamma }}}{\sqrt {\varpi }},\qquad \int e^{-\alpha ^{2}}\alpha ^{2\gamma -1}\operatorname {d} \alpha =0,$

on trouvera facilement que l’intégrale de l’équation