Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/327

313

LINÉAIRES.

$G={\frac {1}{\int \left(1-t^{\beta }\right)^{-{\frac {\alpha +\gamma }{\beta }}}t^{\alpha +\gamma -1}\operatorname {d} t}},\quad u=e^{t^{\beta }y^{\beta }\int \xi \operatorname {d} x}\int e^{-t^{\beta }y^{\beta }\int \xi \operatorname {d} x}\phi '\operatorname {d} x,$

où $\phi '$ est la fonction dérivée de $\phi .$ pour trouver la valeur de la première série, on fera,

$\psi =\Sigma .A_{m}y^{m},$

d’où l’on conclura

$\Sigma .A_{m}\left\{y^{m}+{\frac {\gamma +m}{m-\alpha +\beta }}y^{\beta +m}\int \xi \operatorname {d} x\right.$

$\left.+{\frac {(\gamma +m)(\gamma +m+\beta )}{(m-\alpha +\beta )(m-\alpha +2\beta )}}\int \xi \int \xi \operatorname {d} x^{2}+\ldots \right\}\,;$

et, en observant que

$e^{t^{\beta }y^{\beta }\int \xi \operatorname {d} x}=1+t^{\beta }y^{\beta }\int \xi \operatorname {d} x+t^{2\beta }y^{2\beta }\int \xi \int \xi \operatorname {d} x^{2}+\ldots$

et faisant de plus

${\frac {A_{m}}{\int \left(1-t^{\beta }\right)^{-{\frac {\alpha +\gamma }{\beta }}}t^{\gamma +m-1}\operatorname {d} t}}=B_{m},$

on aura

$\Sigma .B_{m}y^{m}\int \left(1-t^{\beta }\right)^{-{\frac {\alpha +\gamma }{\beta }}}t^{\gamma +m-1}e^{t^{\beta }y^{\beta }\int \xi \operatorname {d} x}=$

$\Sigma .A_{m}\left\{y^{m}+{\frac {\gamma +m}{m-\alpha +\beta }}y^{m+\beta }\int \xi \operatorname {d} x+\ldots \right\}$

et en faisant

$\Sigma .B_{m}y^{m}=\Gamma (y),\qquad \phi '=\Pi (x),$

on aura ensuite

$z=\int \left(1-t^{\beta }\right)^{-{\frac {\alpha +\gamma }{\beta }}}t^{\gamma -1}e^{t^{\beta }y^{\beta }\int \xi \operatorname {d} x}$

$\times \left\{\Gamma (ty)+t^{\alpha }y^{\alpha }\int e^{-t^{\beta }y^{\beta }\int \xi \operatorname {d} x}\Pi (x)\operatorname {d} x\right\}\operatorname {d} t\,;$

l’intégrale étant prise entre $t=0$ et $t=1.$

Prenons encore l’équation