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DES ÉQUATIONS.

Pour appliquer ce procédé à un exemple, soit l’équation différentielle

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {3-6y+2y^{2}}{1-8x+13x^{2}}}\,;$

nous aurons ici

$\left.{\begin{aligned}&Rx+Q=x'\\&Cy+B=y'\end{aligned}}\right\}{\rm {{d'o{\grave {u}}}\left\{{\begin{aligned}&R\operatorname {d} x=\operatorname {d} x'\\&C\operatorname {d} y=\operatorname {d} y'\end{aligned}}\right.}}$

elle devient

${\frac {\operatorname {d} x'}{x'^{2}-M^{2}}}={\frac {\operatorname {d} y'}{y'^{2}-M^{2}}}\,;$

or, cette équation appartient à une classe qu’on sait intégrer algébriquement, (Voyez le Traité de calcul différentiel et intégral de M. Lacroix, dernière édition, tome II, page 477, n.^o 693), et son intégrale est, comme l’on sait,

$k(y'-x')^{2}=\left(x'^{2}-M^{2}\right)\left(y'^{2}-M^{2}\right),$

où $k$ est la constante arbitraire.

En y changeant $k$ en $k^{2}-M^{2},$ ce qui est permis ; cette intégrale devient

$\left(x'y'-M^{2}\right)^{2}=k^{2}(x'-y')^{2}\,;$

or, comme le signe de la constante $k$ est arbitraire, il suffira d’écrire simplement

$x'y'-M^{2}=k(x'-y').$

En remettant pour $x',y'$ leurs valeurs, nous aurons donc

$(Rx+Q)(Cy+B)-M^{2}=k\left\{Rx-Cy+(Q-B)\right\}\,;$

ce qui donne

$y={\frac {1}{C}}.{\frac {\left[\left(M^{2}-BQ\right)-BRx\right]+\left[(Q-B)+Rx\right]k}{(Q+Rx)+k}}\,;$