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DES ÉQUATIONS.
Pour appliquer ce procédé à un exemple, soit l’équation
différentielle
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {3-6y+2y^{2}}{1-8x+13x^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c03c8c8d045915c57378413c672c02ff4a1297)
nous aurons ici
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&Rx+Q=x'\\&Cy+B=y'\end{aligned}}\right\}{\rm {{d'o{\grave {u}}}\left\{{\begin{aligned}&R\operatorname {d} x=\operatorname {d} x'\\&C\operatorname {d} y=\operatorname {d} y'\end{aligned}}\right.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/674e3c49461f9f31955d5fe41f5300fa6195b434)
elle devient
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x'}{x'^{2}-M^{2}}}={\frac {\operatorname {d} y'}{y'^{2}-M^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ca27cce00703efcc06fc7c7b6c4d68bf956d35)
or, cette équation appartient à une classe qu’on sait intégrer algébriquement, (Voyez le Traité de calcul différentiel et intégral de M. Lacroix, dernière édition, tome II, page 477, n.o 693), et son intégrale est, comme l’on sait,
![{\displaystyle k(y'-x')^{2}=\left(x'^{2}-M^{2}\right)\left(y'^{2}-M^{2}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18b1d53d9729559a686c1f515c78197c5363ae26)
où
est la constante arbitraire.
En y changeant
en
ce qui est permis ; cette intégrale devient
![{\displaystyle \left(x'y'-M^{2}\right)^{2}=k^{2}(x'-y')^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9772a567419b06c88123844ddb91e82a9b26400)
or, comme le signe de la constante
est arbitraire, il suffira d’écrire simplement
![{\displaystyle x'y'-M^{2}=k(x'-y').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ccbbddd85719b5b3cb46179d59113701c202b14)
En remettant pour
leurs valeurs, nous aurons donc
![{\displaystyle (Rx+Q)(Cy+B)-M^{2}=k\left\{Rx-Cy+(Q-B)\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff2de0c35f7b68e3ca210bdae41d01636632dad0)
ce qui donne
![{\displaystyle y={\frac {1}{C}}.{\frac {\left[\left(M^{2}-BQ\right)-BRx\right]+\left[(Q-B)+Rx\right]k}{(Q+Rx)+k}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ff46474b3cb334aed17a4ded0368b1c26d3f64)