Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/366

352

INTÉGRATION

${\begin{array}{lll}A=+3,&B=-3,&C=+2,\\P=+1,&Q=-4,&R=+13,\\\end{array}}$

$Q+B=-7,\qquad Q-B=-1$

$B^{2}-AC=Q^{2}-PR=3\,;$

c’est la formule qui répond au cas où l’on aurait pris arbitrairement $a,b,a'$ respectivement égaux à $M^{2}-BQ,\ -BR,\ Q-B.$

On peut observer, au surplus, que

${\frac {\operatorname {d} x'}{x'^{2}-M^{2}}}={\frac {1}{2M}}\left\{{\frac {\operatorname {d} x'}{x'-M}}-{\frac {\operatorname {d} x'}{x'+M}}\right\}$

dont l’intégrale est

${\frac {1}{2M}}\operatorname {Log} .{\frac {x'-M}{x'+M}}\,;$

l’intégrale de ${\frac {\operatorname {d} y'}{y'^{2}-M^{2}}}$ sera donc pareillement

${\frac {1}{2M}}\operatorname {Log} .{\frac {y'-M}{y'+M}}\,;$

égalant donc entre elles ces deux intégrales, en ajoutant à l’un des deux membres la constante ${\frac {\operatorname {Log} .k}{2M}},$ il viendra, en réduisant et passant aux nombres

${\frac {y'-M}{y'+M}}=k{\frac {x'-M}{x'+M}}\,;$

ou, en remettant pour $x',y'$ leurs valeurs,

${\frac {(B-M)+Cy}{(B+M)+Cy}}=k{\frac {(Q-M)+Rx}{(Q+M)+Rx}},$

intégrale également algébrique.

J. D. G.