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DES ÉQUATIONS.

$p,p'\,;$ on aura $q,q'$ par les équations (20, 20′) ; et enfin $r,r',$ par les équations (17, 17′) ; il ne s’agira donc plus que de substituer les valeurs de ces douze coefficiens dans la formule (I) pour avoir l’intégrale cherchée.

Pour appliquer ce procédé à un exemple, soit l’équation différentielle

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=2.{\frac {\left(10+4x-14x^{2}\right)-2\left(5-2x-6x^{2}\right)y+\left(3+x-x^{2}\right)y^{2}}{7+12x+22x^{2}+24x^{3}+7x^{4}}}\,;$

nous aurons ici

${\begin{alignedat}{5}&&A=&+10,&D=&-5,&G=&+3,\\&&2B=&+\ \ 4,&2E=&+2,&2H=&+1,\\&&C=&-14,&F=&+6,&I=&-1,\\P=&+7,\quad &4Q=&+12,\quad &6R=&+22,\quad &4S=&+24,\quad &T=&+7\end{alignedat}}$

et de là

${\begin{alignedat}{3}Q+D=&-\ 2,\qquad &Q-D=&+8,\qquad &3R+2E=&+13,\\S+F=&+12,&S-F=&\pm 0,&3R-2E=&+\ 9,\end{alignedat}}$

ces valeurs substituées dans nos équations ($\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon ,\zeta$), ces équations deviendront

${\begin{alignedat}{3}4V=&8,\quad (\alpha )\qquad &7V=&14,\quad (\gamma )\qquad &V(13-2V)=&18,\quad (\varepsilon )\\V=&2,\quad (\beta )&7V=&14,\quad (\delta )&V(9-2V)=&10,\quad (\zeta )\\\end{alignedat}}$

les quatre premières s’accordent à donner $V=2,$ valeur qui satisfait également aux deux autres ; nos cinq conditions sont donc satisfaites ; et conséquemment l’intégrale de l’équation proposée est algébrique et de la forme (I).