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RÉSOLUES.
cas, en désignant par
le nombre des lettres
le
produit à développer deviendrait
![{\displaystyle \left(1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots \right)^{m},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f46fe2079a4b042744e1bf6396111f6af72ff2)
ou
![{\displaystyle \left({\frac {1}{1-x}}\right)^{m}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6971763151e29ccfa9e3c035a700c067c80a35a6)
ou enfin
![{\displaystyle \quad (1-x)^{-m}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0e239e16846454694d5d72ab6f2900ade0d0e9)
or, le développement de cette puissance est
![{\displaystyle 1+{\frac {m}{1}}x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}x^{2}+\ldots +{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}x^{n}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152d3c7476a87c7be4a28f66636615f5e6cc3435)
donc, le nombre des diviseurs de
dimensions du monôme
dans lequel il y a
lettres et où
sont des exposans quelconques
est
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31f1a69141010881eb88f4b40398c83a6cebb7c)
Or, si l’on demandait le nombre des termes du polynôme complet et homogène de
dimensions qu’on peut fermer avec
sortes de lettres en nombre indéfini de chaque sorte, le problème
reviendrait évidemment à celui-ci ; donc le nombre de ces termes est
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}.{\frac {m+2}{3}}\ldots {\frac {m+n-1}{n}}={\frac {(m-n+1)!}{(m-1)!n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac40c76ad86d7c215b383ad2d077c3fd903e73b8)
Soit présentement une équation complète du
me degré entre
inconnues
dont on demande le nombre des termes ;
en introduisant dans chacun de ses termes une puissance d’une
me inconnue, du degré nécessaire pour les rendre tous
homogènes et de
dimensions, son premier membre deviendra un
polynôme homogène de
dimensions, formé avec
sortes