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QUESTIONS

le nombre de ses termes de $n$ dimensions ni le nombre des dimensions de ces termes ne changera pas ; et il arrivera seulement que chacun d’eux se réduira à $x^{n},$ d’où il résulte qu’ils se réduiront tous à ce terme affecté d’un coefficient égal au nombre cherché.

Le nombre cherché est donc le coefficient numérique de $x^{n}$ dans le développement du produit

$\left(1+x+x^{2}+\ldots +x^{\alpha }\right)\left(1+x+x^{2}+\ldots +x^{\beta }\right)\left(1+x+x^{2}+\ldots +x^{\gamma }\right)\ldots$

Qu’on demande, par exemple, le nombre des diviseurs de trois dimensions du produit $a^{3}b^{2}c\,;$ on développera le produit

$\left(1+x+x^{2}+x^{3}\right)\left(1+x+x^{2}\right)(1+x),$

ce qui donnera

$1+3x+5x^{2}+6x^{3}+5x^{4}+3x^{5}+x^{6}\,;$

et le coefficient $6$ de $x^{3},$ dans le développement, sera le nombre des diviseurs de trois dimensions de $a^{3}b^{2}c\,:$ ces diviseurs sont, en effet,

$a^{3},\quad a^{2}b,\quad ab^{2},\quad abc,\quad a^{2}c,\quad b^{2}c.$

Comme il y a autant de manières de choisir $m-n$ facteurs parmi $m$ que d’en laisser $n,$ on voit que le produit $a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots$ aura toujours autant de diviseurs de $m-n$ dimensions qu’il en aura de $n$ dimensions. Dans le développement du produit de nos polynômes en $x,$ il arrivera donc que les termes également distans des extrêmes auront constamment des coefficiens égaux ; cela résulte d’ailleurs de la nature même de l’opération.

Si le nombre $n$ n’était supérieur à aucun des exposans $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \,;$ il est aisé de voir qu’on pourrait supposer ces exposans plus grands qu’ils ne le sont en effet sans rien changer au résultat final ; il ferait donc permis aussi de les supposer infinis ; auquel