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QUESTIONS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1.\qquad$(2)

Nous allons chercher quelle relation il doit exister entre les coefficiens de ces deux équations, pour que la droite soit tangente à la section conique.

Pour obtenir cette relation, remarquons d’abord qu’en désignant par $(x',y')$ le point de contact, l’équation de la tangente est

$(Ax'+Cy'+A')x+(By'+Cx'+B')y+(A'x'+B'y'+C')=0,$

ou bien

${\frac {x}{-{\frac {A'x'+B'y'+C'}{Ax'+Cy'+A'}}}}+{\frac {y}{-{\frac {A'x'+B'y'+C'}{By'+Cx'+B'}}}}=1\,;$

cette équation devant être la même que l’équation (2), il s’ensuit qu’on doit avoir

$-{\frac {A'x'+B'y'+C'}{Ax'+Cy'+A'}}=a,\qquad -{\frac {A'x'+B'y'+C'}{By'+Cx'+B'}}=b,$

ou

$a(Ax'+Cy'+A')+(A'x'+B'y'+C')=0,$

$b(By'+Cx'+B')+(A'x'+B'y'+C')=0,$

ou encore

$(aA+A')x'+(aC+B')y'+(aA'+C')=0,$

$(bB+B')y'+(bC+A')x'+(bB'+C')=0\,;$

mais, parce que le point de contact est sur la droite (2), on doit avoir aussi