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RÉSOLUES.

$bx'+ay'-ab=0\,;$

éliminant donc $x',y'$ entre ces trois dernières équations, il viendra pour l’équation qui exprime la condition demandée

$\left.{\begin{aligned}a^{2}b^{2}\left(C^{2}-AB\right)+2a^{2}b(A'C-AB')+\ \ \ a^{2}\left(A'^{2}-AC'\right)&\\+2ab^{2}(B'C-BA')+2ab(CC'-A'B')&\\+\quad b^{2}\left(B'^{2}-BC'\right)&\\\end{aligned}}\right\}=0.\;$(3)

Si la droite donnée était l’axe des $x$ ou celui des $y,$ on aurait, dans le premier cas, $b=0$ et dans le second $a=0,$ ce qui réduirait la condition à

$A'^{2}-AC'=0,\quad (\mathrm {4} )\quad$ou$\quad B'^{2}-BC'=0.\quad (\mathrm {5} )$

Si, après avoir changé respectivement $a,b$ en $wla,wlb,$ on suppose ensuite $wl=0,$ la droite passera par l’origine, et aura pour équation

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=0,\qquad$(6)

en faisant les mêmes transformations dans l’équation (3), elle devient

$a^{2}\left(A'^{2}-AC'\right)+2ab(CC'-A'B')+b^{2}\left(B'^{2}-BC'\right)=0\,;\qquad$(7)

c’est donc là l’équation de condition qui exprime que la droite (6) est tangente à la courbe (1).

Si, de plus, la courbe (1) passait elle-même par l’origine, qui serait alors le point de contact, on aurait $C'=0,$ ce qui réduirait la condition (7) à celle-ci :

$aA'-bB'=0.\qquad (8)$