formant ainsi un prisme tétraèdre indéfini, dont les quatre arêtes sont les quatre polaires dont il s’agit. La polaire de similitude externe est l’intersection des deux plans polaires de similitude externe. La polaire de similitude interne est l’intersection des deux plans polaires de similitude internes ; enfin, les deux polaires de similitude mixtes sont l’intersection d’un plan polaire de similitude externe avec un plan polaire de similitude interne.
115. Dans le système de trois sphères, les polaires de similitude relatives à chaque axe de similitude sont des droites semblablement situées par rapport à ces trois sphères.
Démonstration. Nous avons déjà vu (87) que chacun des axes de similitude du système de trois sphères est une droite à la fois semblablement située par rapport à ces trois sphères ; et, comme il est d’ailleurs évident que les polaires des droites homologues sont elles-mêmes des droites homologues, la proposition se trouve ainsi démontrée.
116. Des considérations analogues à celles que nous avons développées ci-dessus (101) prouvent que les sphères, en nombre infini, qui peuvent toucher à la fois les trois mêmes sphères données, peuvent se trouver dans huit cas distincts. Dans les deux premiers, les trois sphères se trouveront touchées de la même manière : dans les six autres, deux sphères se trouveront touchées de la même manière, et la troisième d’une manière différente.
117. THÉORÈME. L’axe radical de trois sphères est placé, par rapport à toute sphère qui les touche toutes trois, de la même manière que le sont, par rapport à ces trois sphères, leurs polaires de similitude respectives ; savoir : les polaires relatives à l’axe de similitude externe, si les trois sphères sont touchées de la même manière par la quatrième ; et les polaires relatives à l’un des axes de similitude internes, si l’une des sphères n’est pas touchée de la même manière que les deux autres ; pourvu que, dans ce dernier cas, on choisisse celui des axes de similitude qui contient le centre de similitude externe des deux sphères touchées de la
