même manière par la quatrième sphère. D’où il suit que l’axe radical de trois sphères est une droite semblablement située par rapport à toutes les sphères qui les touchent toutes trois pourvu que chacune des trois sphères soit constamment touchée de la même manière par toutes celles-là.
Démonstration. Soient les trois sphères touchées, la sphère touchante, les points de contact respectifs, les polaires de similitude que l’on considère sur les trois sphères touchées, l’axe radical de ces trois sphères.
Les points étant (34) des centres de similitude, le plan que l’on conduira par ces trois points sera (30) un plan à la fois semblablement situé par rapport aux quatre sphères les cercles qu’il déterminera sur elles en seront donc des sections homologues, les pôles des plans de ces quatre cercles seront donc des points homologues des quatre sphères ; or, il est aisé de voir (29) que sont respectivement situés sur et (46) que est sur ces quatre droites, parallèles entre elles, passent donc par des points homologues de quatre sphères par rapport à un plan homologue commun ; elles sont donc elles-mêmes des lignes homologues de ces quatre sphères.
Si l’on conduit trois plans par la droite et par chacune de ses homologues il est évident que ces plans contiendront les points homologues à la fois par rapport à la sphère et à chacune des sphères, ces mêmes plans détermineront sur ces trois sphères des sections circulaires, contenant respectivement les points or, comme ces plans sont invariables quelle que soit la sphère touchante, il en résulte ce théorème, déjà démontré par M. Dupin, mais d’une manière différente.
118. THÉORÈME. Toutes les sphères qui touchent à la fois les trois mêmes sphères données ont leurs points de contact avec chacune de ces derrières sur une même section circulaire dont le plan, perpendiculaire à celui des centres, passe par l’axe radical des trois sphères et par l’une des polaires de similitude de celle
