du cône touchant et du cône touché passe par ce point de contact et passe de plus par le sommet commun, comme le plan dont il s’agit, cette ligne de contact sera aussi dans ce plan.
138. PROBLÈME. Construire un cône qui touche à la fois trois cônes donnés du même sommet ?
Solution. Déterminez, pour l’un quelconque des cônes donnés ses plans polaires de similitude avec les deux autres, ayant soin de prendre le plan polaire externe pour les cônes qui doivent être touchés de la même manière, et le plan polaire interne pour ceux qui doivent être touchés d’une manière différente par le cône cherché. Ces plans polaires se couperont suivant une certaine droite qui sera une des polaires du cône dont il s’agit. Déterminez aussi l’axe radical des trois cônes. Alors, en faisant passer un plan par cette dernière droite et par la polaire, ce plan coupera le premier des trois cônes donnés suivant ses lignes de contact avec deux cônes de même sommet, dont chacun touchera à la fois les trois cônes donnés de la manière que vous vous serez proposée. En exécutant donc les mêmes opérations pour chacun des deux autres cônes, le problème se trouvera ramené à faire passer un cône par trois droites données concourant en un point.
On pourra même se contenter de chercher les lignes de contact des cônes cherchés avec deux des cônes donnés ; attendu qu’en conduisant des plans par ces droites et par les axes des cônes auxquels elles appartiennent, leur intersection sera l’axe du cône cherché.
Pour chacune des quatre manières dont on voudra que le cône cherché touche les trois cônes donnés, on trouvera deux cônes qui résoudront le problème, ce qui fera huit solutions en tout.
Cette solution est exactement celle qui a été donnée par M. Gergonne, en l’endroit des Annales de mathématiques déjà cité.
139. Si quelques-uns des plans qui doivent déterminer, sur les cônes donnés, leurs lignes de contact avec le cône cherché, au
