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FONCTIONNELLES.
![{\displaystyle \psi _{1}x+\psi _{1}{\frac {a^{2}}{x}}=2\operatorname {Log} .b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bd79bc09b18be63bae0c9b10d079237c914c55)
qui, traitée comme la précédente, donne
![{\displaystyle \psi _{1}x\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abfc2bcd8d101951cb314cee8cbb5fb8ffec5884)
ou
![{\displaystyle \quad \operatorname {Log} .\psi x=\operatorname {Log} .b+\phi x-\phi {\frac {a^{2}}{x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ad74e0f85b48251f0cdc491caf51e2025dd9364)
et par suite
![{\displaystyle \psi x\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a198764b2e5efe379f71642d330b02323d46903)
ou
![{\displaystyle \qquad y={\frac {be^{\psi x}}{e^{\phi ^{\frac {a^{2}}{x}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aad59235015d14bdf4b0a932691c1198a543c87)
Soit encore l’équation
![{\displaystyle \left[\psi x\right]^{2}+\left[\psi \left({\frac {1}{2}}\varpi -x\right)\right]^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687cae77391c460746862b8f35a973a7a8236e53)
à laquelle M. Laplace réduit le problème de la composition des forces (Mécanique céleste, pag. 5). En faisant
elle donnera
![{\displaystyle \psi _{1}x+\psi _{1}\left({\frac {1}{2}}\varpi -x\right)=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1802751a89b9b33a6a09cf86d128c67841eb1f)
d’où
![{\displaystyle \psi _{1}x\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abfc2bcd8d101951cb314cee8cbb5fb8ffec5884)
ou
![{\displaystyle \quad [\psi x]^{2}={\frac {1}{2}}+\phi x-\phi \left({\frac {1}{2}}\varpi -x\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d72ffb57e7eda66d4edda6516808723f3885742)
et par suite
![{\displaystyle \psi x={\sqrt {{\frac {1}{2}}+\phi x-\phi \left({\frac {1}{2}}\varpi -x\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563eee3a7bc62b9b75ed22bf9f645c5cf44a4c3d)
Ces cas, au surplus, ne sont pas les seuls où la valeur de
admet une fonction arbitraire, et M. Babbage en indique quelques autres.
Tout ce qui précède n’est, comme l’on voit, relatif qu’au cas où les diverses fonctions de
soumises au signe
peuvent être déduites les unes des autres et de
par un même procédé ; mais on pourrait avoir une équation fonctionnelle de la forme