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FONCTIONNELLES.

$\psi _{1}x+\psi _{1}{\frac {a^{2}}{x}}=2\operatorname {Log} .b,$

qui, traitée comme la précédente, donne

$\psi _{1}x\quad$ou$\quad \operatorname {Log} .\psi x=\operatorname {Log} .b+\phi x-\phi {\frac {a^{2}}{x}},$

et par suite

$\psi x\quad$ou$\qquad y={\frac {be^{\psi x}}{e^{\phi ^{\frac {a^{2}}{x}}}}}.$

Soit encore l’équation

$\left[\psi x\right]^{2}+\left[\psi \left({\frac {1}{2}}\varpi -x\right)\right]^{2}=1,$

à laquelle M. Laplace réduit le problème de la composition des forces (Mécanique céleste, pag. 5). En faisant $[\psi x]^{2}=\psi _{1}x,$ elle donnera

$\psi _{1}x+\psi _{1}\left({\frac {1}{2}}\varpi -x\right)=1,$

d’où

$\psi _{1}x\quad$ou$\quad [\psi x]^{2}={\frac {1}{2}}+\phi x-\phi \left({\frac {1}{2}}\varpi -x\right).$

et par suite

$\psi x={\sqrt {{\frac {1}{2}}+\phi x-\phi \left({\frac {1}{2}}\varpi -x\right)}}.$

Ces cas, au surplus, ne sont pas les seuls où la valeur de $\psi x$ admet une fonction arbitraire, et M. Babbage en indique quelques autres.

Tout ce qui précède n’est, comme l’on voit, relatif qu’au cas où les diverses fonctions de $x,$ soumises au signe $\psi ,$ peuvent être déduites les unes des autres et de $x$ par un même procédé ; mais on pourrait avoir une équation fonctionnelle de la forme