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D’ALGÈBRE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

qui, en mettant dans le second membre $b$ et $b'$ pour $ma$ et $ma'$ revient au théorème (I). On prouvera d’une manière tout-à-fait semblable que

$\left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)-\left(a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\right)$

$=(a-a')+(b-b')+{\sqrt {(a-a')(b-b')}}.\quad$(II)

Si, dans l’équation (I), on suppose que $a',b'$ se changent respectivement en $a'+a'',\ b'+b'',$ elle deviendra

$\left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)+\left\{(a'+a'')+(b'+b'')+{\sqrt {(a'+a'')(b'+b'')}}\right\}$

$=(a+a'+a'')+(b+b'+b'')+{\sqrt {(a+a'+a'')(b+b'+b'')}}\,;$

mais, si l’on a ${\frac {b''}{a''}}={\frac {b'}{a'}}={\frac {b}{a}},$ on aura, par ce qui précède,

$(a'+a'')+(b'+b'')+{\sqrt {(a'+a'')(b'+b'')}}$

$=\left(a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\right)+\left(a''+b''+{\sqrt {a''b''}}\right)\,;$

donc, en substituant,

$\left.{\begin{aligned}&\left(a\ \ +b\ \ +{\sqrt {a\ b\ }}\ \right)\\+&\left(a'\,+b'\,+{\sqrt {a'\,b'\,}}\right)\\+&\left(a''+b''+{\sqrt {a''b''}}\right)\end{aligned}}\right\}=(a+a'+a'')+(b+b'+b'')+{\sqrt {(a+a'+a'')(b+b'+b'')}}.$

On pourrait présentement supposer que $a''$ et $b''$ se changent respectivement en $a''+a'''$ et $b''+b''',$ et continuer ainsi indéfiniment, en supposant toujours ${\frac {b'''}{a'''}}={\frac {b''}{a''}}={\frac {b'}{a'}}={\frac {b}{a}},$ et ainsi de suite ; d’où l’on voit qu’en posant, pour abréger,

$\Sigma \left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)=\left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)+\left(a'+b'+{\sqrt {a'b'}}\right)+\left(a''+b''+{\sqrt {a''b''}}\right)+\ldots$