Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/110

106

THÉORÈMES

$\Sigma (a)=a+a'+a''+\ldots ,\qquad \Sigma (b)=b+b'+b''+\ldots \,;$

et supposant d’ailleurs

${\frac {b}{a}}={\frac {b'}{a'}}={\frac {b''}{a''}}=\ldots ,$

on doit avoir

$\Sigma \left(a+b+{\sqrt {ab}}\right)=\Sigma (a)+\Sigma (b)+{\sqrt {\Sigma (a)\Sigma (b)}}.\qquad$(III)

On démontrerait pareillement que, si l’on fait

$\Sigma \left(a+b+c+{\sqrt {bc}}+{\sqrt {ca}}+{\sqrt {ab}}\right)=$

$\left\{{\begin{aligned}&(a\ \,+b\ \ +c\ \ +{\sqrt {b\ \ c\ \ }}+{\sqrt {c\ \ a\ \ }}+{\sqrt {a\ \ b\ \ }}\\+&(a'\,+b'\,+c'\,+{\sqrt {b'\,c'\,}}+{\sqrt {c'\,a'\,}}+{\sqrt {a'\,b'\,}}\\+&(a''+b''+c''+{\sqrt {b''c''}}+{\sqrt {c''a''}}+{\sqrt {a''b''}}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

$\Sigma (a)=a+a'+a''+\ldots ,\ \ \Sigma (b)=b+b'+b''+\ldots ,\ \ \Sigma (c)=c+c'+c''+\ldots ,$

et qu’on ait à la fois

${\frac {a}{c}}={\frac {a'}{c'}}={\frac {a''}{c''}}=\ldots ,\qquad {\frac {b}{c}}={\frac {b'}{c'}}={\frac {b''}{c''}}=\ldots ,$

on aura

$\Sigma \left(a+b+c+{\sqrt {bc}}+{\sqrt {ca}}+{\sqrt {ab}}\right)$

$=\Sigma (a)+\Sigma (b)+\Sigma (c)+{\sqrt {\Sigma (b)\Sigma (c)}}+{\sqrt {\Sigma (c)\Sigma (a)}}+{\sqrt {\Sigma (a)\Sigma (b)}}.$

Le théorème (III) trouve son application en géométrie. Si, en effet, $a,a',a'',\ldots$ sont les bases inférieures et $b,b',b'',\ldots$