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PARALLÉLISME DES LIGNES

$(t-x)\left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} x}}-1\right)+(u-y)\left({\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)=0\,;$

en élimment $t-x$ entre celle-ci et l’équation (1) $u-y$ disparaîtra de lui-même et il viendra, en réduisant

${\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} x}},$

d’où

${\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\,;\qquad$(3)

donc le parallélisme est généralement réciproque pour toutes les courbes.

Au moyen de l’équation (3), les équations (1, 2) peuvent être mises sous cette forme

${\begin{aligned}(x-t)+(y-u){\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} t}}=0,&\\\\(x-t)^{2}+(y-u)^{2}=k^{2},&\end{aligned}}$

et elles ne différent alors de celles-là qu’en ce que $t$ et $u,$ s’y trouvent respectivement changés en $x$ et $y,$ et réciproquement ; on déterminera donc la première courbe au moyen de la seconde par un calcul tout pareil à celui qui sert à déterminer la seconde à l’aide de la première.

5.

Occupons-nous présentement de la relation entre les rayons de courbure des points correspondans des deux courbes. Mais cherchons d’abord la relation entre les coefficiens différentiels du second ordre.