On voit donc que le parallélisme des droites et celui des cercles sont réciproques ; c’est-à-dire que, si l’une de ces deux lignes est parallèle à une autre ligne de même dénomination, celle-ci sera, à l’inverse, parallèle à la première ; mais rien ne prouve, à priori, qu’il en doive être de même pour toutes les courbes, du moins en général ; c’est-à-dire que nous ne savons pas encore si, en élevant des normales égales d’un même côté par tous les points d’une courbe donnée quelconques, ces normales le seront aussi à la courbe qui joindra leurs extrémités, ou, ce qui revient au même, si les tangentes aux points correspondans des deux courbes seront parallèles.
Tout se réduit évidemment à comparer l’un à l’autre les deux coefficiens différentiels
qui déterminent l’inclinaison de ces tangentes sur l’axe des et ce serait une chose très-facile, si l’on avait les équations des deux courbes ; mais on ne peut les avoir que pour des cas particuliers ; et, en se tenant dans les généralités, on n’a, entre les points correspondans des deux courbes, que les seules relations (1, 2). Voici comment on peut facilement parvenir à éluder cette difficulté.
Quelle que soit la courbe donnée, par le seul fait de l’existence de cette courbe, se trouve être une fonction de mais, par la relation constante entre les points correspondans des deux courbes, et sont, l’un et l’autre, fonctions de et donc peuvent être considérés tous trois comme des fonctions de
En différentiant sous ce point de vue l’équation (2), on trouve
