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PROBLÈME
![{\displaystyle Z_{n,x}=M\alpha ^{n}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)^{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/581e8bc6fd7dceeca16eefaa632ad6f7bf697907)
Pour la facilité du développement, nous pourrons supposer
il viendra alors
![{\displaystyle Z_{n,x}=\alpha ^{n}\left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)^{x-1}=\alpha ^{n}-{\frac {x-1}{1}}\alpha ^{n-1}+{\frac {x-1}{1}}.{\frac {x-2}{2}}\alpha ^{n-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56e800b4a8bc01c99715f12ad0882642f592b29a)
![{\displaystyle -{\frac {x-1}{1}}.{\frac {x-2}{2}}.{\frac {x-3}{3}}\alpha ^{n-3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39f0a4a2eca600bdc84af7f81fb84b57f774d7a)
Pour déterminer
nous remarquerons que, lorsque
on a
donc
et ainsi de suite ; d’où
![{\displaystyle Z_{n,x}=(n-1)!-{\frac {x-1}{1}}(n-2)!+{\frac {x-1}{1}}.{\frac {x-2}{3}}(n-3)!-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87dd50a9beb2df1e73dd454e0fae55154983972)
qui, en mettant successivement pour
les valeurs
nous fera retomber sur les résultats déjà obtenus dans notre seconde solution.
On sait que,
d’après quoi on doit avoir
![{\displaystyle e^{-1}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/101c2d649c6d59c3911ccc6ca53dc37bbb8c3dc0)
ou
![{\displaystyle \quad {\frac {1}{e}}=1-{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}-{\frac {1}{5!}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb4160f8f12dfc9fed46efaa922d32be81ef4fa)
donc
![{\displaystyle {\frac {e-1}{e}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3!}}-{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{5!}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1ca135f3e373a458292f31c31e00f04e3c4331c)