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DES RENCONTRES.
donc, lorsque le nombre
des numéros est infini, la probabilité demandée est
et, comme la série est extrêmement convergente, on en doit conclure que c’est aussi là, à très-peu près, la probabilité cherchée, toutes les fois que
est un grand nombre quelconque.
Si, au lieu de supposer un seul numéro de chaque sorte, on en supposait un nombre
on remarquerait qu’un numéro ne peut être à son rang que dans les
premiers tirages ; que conséquemment on devra arrêter le développement à ses
premiers termes. L’équation à intégrer sera
![{\displaystyle Z_{mn,x}=Z_{mn,x-1}-mZ_{mn-1,x-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8c3a068609c3a6c0b88e29d8d3505c0992945ce)
elle donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{mn,1}=m(mn-1)!,\\&Z_{mn,2}=m(mn-1)!-m^{2}(mn-2)!,\\&Z_{mn,3}=m(mn-1)!-2m^{2}(mn-2)!+m^{3}(mn-3)!,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&Z_{mn,x}=m(mn-1)!-{\frac {x-1}{1}}m^{2}(mn-2)!+{\frac {x-1}{1}}.{\frac {x-2}{2}}m^{3}(mn-3)!-\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38970c74e59f35548f19c04f73e640a6e2373db)
d’où
![{\displaystyle \Sigma Z_{mn,x}=m.{\frac {x}{1}}(mn-1)!-{\frac {x}{1}}.{\frac {x-1}{2}}m^{2}(mn-2)!+{\frac {x}{1}}.{\frac {x-1}{2}}.{\frac {x-2}{3}}m^{3}(mn-3)!-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cfbb173b4f8b8b74a7a8e7e0755f8b61418773)