Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/160

154

INTÉGRALES

de l’unité ; mais, avant $x=1,5,$ on voir succéder le signe positif au signe négatif ; de sorte qu’il y a certainement une abscisse, comprise entre $x=1$ et $x=1,5,$ qui donne une valeur nulle pour l’intégrale arithmétique de ${\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {Log} .x}}.$ Marcheroni et M. Bessel ont trouvé que ce point remarquable répond à $x=1,45136923495.$

Maintenant, si l’on compare les deux séries fournies par les seconds membres des équations (5), (6), on voit que l’on peut réunir ces deux équations dans l’équation unique

$\int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {\operatorname {Log} } .x}}=C+\operatorname {\operatorname {Log} } .\left[\pm (1-x)\right]+B_{1}(1-x)+{\frac {1}{2}}B_{2}(1-x)^{2}+\ldots$ (7)

en convenant que la quantité soumise au signe logarithmique doit être prise

Avec le signe $+,$ lorsqu’on a $x<1,$

Avec le signe $-,$ lorsqu’on a $x>1.$

C’est dans cette ambiguïté que consiste la différence essentielle entre l’intégrale arithmétique et l’intégrale analitique, laquelle doit toujours être unique, d’après la manière même dont on conçoit son existence ; mais il est remarquable qu’ici, comme dans d’autres cas particuliers, il suffise de changer, dans l’intégrale analitique (3), le terme $\operatorname {Log} .(1-x)$ en $\operatorname {Log} .(x-1)+\operatorname {Log} .(-1),$ et de supprimer ensuite la partie imaginaire $\operatorname {Log} .(-1),$ pour avoir l’intégrale arithmétique qui répond au cas où on a $x>1.$

IV. Jusqu’ici nous avons évité à dessein l’emploi de la série la plus communément connue pour donner la valeur de cette intégrale. On l’obtient en substituant pour $\operatorname {d} x$ la différentielle du second membre de l’équation