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ET DES SURFACES COURBES.

$(u-y){\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}=(u-y){\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}$

$=(u-y){\sqrt {1+\left({\frac {t-x}{u-y}}\right)^{2}}}={\sqrt {(t-x)^{2}+(u-y)^{2}}}=\pm k\,;$

donc finalement

${\frac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}\mp k.{\frac {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}{1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}.$

En intégrant cette équation, il viendra

$\sigma =s\mp k\operatorname {Arc} \left(\operatorname {Tang} .={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)+C.$

dans cette intégrale, ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ est l’angle que fait la tangente à la courbe avec l’axe des $x\,;$ de sorte qu’en désignant par $\theta$ l’arc qui le mesure, et dont Le rayon est égal à l’unité, on aura

$\sigma =s\mp k\theta +C.$

Si donc on désigne par $\alpha$ et $\beta$ les valeurs de $\theta$ qui répondent aux deux extrémités de l’arc que l’on considère en particulier, on aura pour l’intégrale, prise entre ces limites,

$\sigma =s\mp k(\alpha -\beta )\,;\qquad$(5)

C’est l’expression de l’arc d’une parallèle à une courbe donnée, si la longueur de l’arc, correspondant de cette dernière, est $s,$ et si $k$ est la distance entre l’une et l’autre.

Dans cette formule, $\alpha -\beta ,$ qui est la différence des angles que forment avec l’axe des $x$ les tangentes aux deux extrémités de l’arc, est en même temps la différence des angles que forment les