normales à ces mêmes extrémités avec la même droite ; t’est donc l’angle que forment entre elles ces deux normales ; d’où il suit que est la longueur de l’arc de cercle qui, ayant pour rayon, mesurerait l’angle de ces normales ; on a donc cet élégant théorème :
La différence des longueurs de deux arcs de courbes parallèles, compris entre les deux mêmes normales est égale à la longueur d’un arc de cercle compris entre ces mêmes normales, décrit de leur point de concours comme centre avec un rayon égal à la distance constante entre les deux courbes.
Si l’une des courbes était fermée, à la manière des ellipses, l’autre le serait également ; et, si l’on voulait les considérer dans toute leur étendue, l’angle des normales extrêmes serait alors égal à quatre angles droits ; donc la différence des longueurs de deux courbes parallèles fermées est égale à la circonférence d’un cercle qui aurait pour rayon la distance constante entre les deux courbes.
Donc, en particulier, la différence des circonférences de deux cercles concentriques est une autre circonférence qui aurait pour rayon la différence des leurs. C’est, en effet, ce qui se vérifie facilement, puisqu’en désignant par et les rayons des deux cercles, on a Il est, au surplus, facile de voir qu’il en serait de même pour des arcs des deux cercles compris entre les mêmes rayons ; c’est-à-dire, que leur différence serait l’arc du troisième cercle compris entre ces rayons.
En considérant donc les deux courbes comme engendrées par leur développée commune, ceci pourra servir à démontrer, sans calcul, le théorème ci-dessus. On voit, en effet, que les deux points décrivans du fil développant tracent, à chaque instant, de petite arcs de cercles semblables et concentriques, dont la différence est un troisième arc semblable et concentrique, ayant pour rayon la différence des leurs ; d’où il suit que la différence entre la somme des uns et celle des autres ; c’est-à-dire, la différence entre les arcs correspondans des deux courbes, doit être telle que l’annonce le théorème.
