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RÉSOLUES.
![{\displaystyle x+y=2c-2c\left\{{\tfrac {1}{m}}.{\tfrac {m-1}{2m}}.{\tfrac {t^{2}}{c^{2m}}}+{\tfrac {1}{m}}.{\tfrac {m-1}{2m}}.{\tfrac {2m-1}{3m}}.{\tfrac {3m-1}{4m}}.{\tfrac {t^{4}}{c^{4m}}}+\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af92a127e619cc6f67ca4551cd3556607a311a77)
on aura ensuite
![{\displaystyle x^{m}y^{m}=c^{2m}-t^{2},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6204f79f9de16efc2fa933ccd689923edc0ef4)
d’où
![{\displaystyle \quad xy={\sqrt[{m}]{c^{2m}-t^{2}}}=c^{2}{\sqrt[{m}]{1-\left({\frac {t}{c^{m}}}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7948c14ce3a8b714d2df3f474c48f12eb141afc5)
Cela posé, on voit que
sera d’autant plus petit ou d’autant plus grand que
sera lui-même plus petit ou plus grand, c’est-à-dire, que
et
approcheront plus ou moins de l’égalité, mais, par les expressions de
et de
on voit que ces deux fonctions seront d’autant plus grandes que
sera plus petit, et d’autant moindres que
sera plus grand ; donc
et
seront maximums lorsqu’on aura
et minimums, lorsqu’on aura ![{\displaystyle x=a,\ y=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc9bc890ba052c0aaf4ba551912ce8cd7f43bae)
Si l’on suppose que
sont les deux demi-diamètres principaux d’une ellipse ; et qu’on fasse
et
seront deux demi-diamètres conjugués quelconques : ce théorème deviendra donc le premier des deux théorèmes proposés, et il sera démontré en outre que l’angle des diamètres conjugués, dont le sinus est en général
devient le plus petit possible, lorsque ces diamètres sont égaux.
THÉORÈME II. Si trois variables
constamment positives, sont liées entre elles par l’équation
où
sont également des quantités positives, telles qu’on a
et dans laquelle
est un nombre positif quelconque plus grand que l’unité ; et si
ne pouvant varier qu’entre les limites
peuvent d’ailleurs recevoir, entre ces limites, toutes les valeurs compatibles avec l’équation qui les lie ;
et
seront maximums, lorsqu’on aura
et minimums, lorsqu’on aura
Démonstration. 1.o Si l’on niait que le maximum, tant de