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RÉSOLUES.
On voit de plus qu’en poursuivant de la même manière on étendrait sans peine la proposition à un nombre quelconque de variables.
En recourant au calcul différentiel, on peut même s’élever à un théorème incomparablement plus général et démontrer que si des variables
en nombre quelconque sont liées entre elles par la condition
![{\displaystyle \operatorname {f} (x)+\operatorname {f} (y)+\operatorname {f} (z)+\ldots ={\rm {Const.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6812662f7cc554b31b12cd76b8e3b048d46f8ef9)
leur somme
et leur produit
seront maximums, si les deux premières dérivées
et
sont de mêmes signes ; et qu’au contraire
sera minimum, si ces deux mêmes dérivées sont de signes contraires, et qu’il en sera de même de
si dans ce cas on a en outre ![{\displaystyle 1+x{\frac {\operatorname {f} ''(x)}{\operatorname {f} '(x)}}<0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9395f484ae43c771c1dd4d9f7afed15449fd6373)
En effet, ne supposons, pour fixer les idées que quatre variables
seulement, nous aurons d’abord, par l’équation de condition,
![{\displaystyle \operatorname {f} '(x)\operatorname {d} x+\operatorname {f} '(y)\operatorname {d} y+\operatorname {f} '(z)\operatorname {d} z+\operatorname {f} '(t)\operatorname {d} t=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548c0e66838598982c378dad357f2b8d427c64c3)
(1)
posant ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}&s=x+y+z+t,\\&p=xyzt\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85041e95cf9be1d4273541ec99ed4c0f23954915)
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{array}{lr}\operatorname {d} s=\operatorname {d} x+\operatorname {d} y+\operatorname {d} z+\operatorname {d} t,&(2)\\\operatorname {d} p=yzt\operatorname {d} x+ztx\operatorname {d} y+txy\operatorname {d} z+xyz\operatorname {d} t\,;&(3)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a77cece459217b31e334422aa3d3a492a5ee67)
en mettant dans les équations (2, 3) la valeur de
donnée par l’équation (1), elles deviendront