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PARALLÉLISME DES LIGNES

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}={\frac {1}{2}}k\left\{{\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}+r.{\frac {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}{1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}-k.{\frac {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}{1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}\right\}\,;$

mais

$r={\frac {\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}}={\frac {\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}\right\}{\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}}\,;$

en substituant donc, nous aurons

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} x}}=k{\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}-{\frac {1}{2}}k^{2}.{\frac {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}{1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}\,;$

ce qui donne, en intégrant,

$S=ks-{\frac {1}{2}}k^{2}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)+C.$

en faisant, comme ci-dessus, $\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)=\theta ,$ il viendra

$S=ks-{\frac {1}{2}}k^{2}\theta +C.$

Si, de plus, on désigne par $\alpha$ et $\beta$ les valeurs de $\theta$ aux extrémités de l’arc $s,$ on aura, entre ces limites,

$S=ks-{\frac {1}{2}}k^{2}(\alpha -\beta ).\qquad$(6)

or, il est aisé de voir que ${\frac {1}{2}}k^{2}(\alpha -\beta )$ exprime l’aire du secteur circulaire qui, ayant son centre au point de concours des normales extrême, et étant compris entre ces normales, aurait pour rayon la distance constante entre les deux courbes, tandis que $ks$ ex-