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ET DES SURFACES COURBES.

On peut encore observer, d’après ce qui précède, que si, entre nos deux courbes parallèles, on en décrit une troisième qui passe par les milieux des portions de normales interceptées entre elles, cette courbe que, pour cela, nous nommerons la courbe aux centres ; sera nécessairement parallèle à l’une et à l’autre ; en outre, sa longueur sera moyenne arithmétique entre les leurs, puisque les différences de cette longueur, avec celles des deux autres courbes, seront deux arcs de cercles égaux. Ainsi, la longueur de la courbe aux centres, entre les normales qui terminent deux arcs de courbes parallèles, est égale à la demi-somme de ces arcs.

8.

Occupons-nous présentement de la mesure de la surface comprise entre les arcs correspondans de deux courbes parallèles et les normales à leurs extrémités, surface que nous désignerons par $S.$

Considérons l’élément de cette surface compris entre deux normales infiniment voisines ; cet élément est la différence entre deux secteurs circulaires concentriques ayant $\operatorname {d} s$ et $\operatorname {d} \sigma$ pour bases et dont les rayons respectifs sont $r$ et $\rho \,;$ d’où il suit qu’on doit avoir

$\operatorname {d} S={\frac {1}{2}}r\operatorname {d} s-{\frac {1}{2}}\rho \operatorname {d} \sigma ={\frac {1}{2}}(r\operatorname {d} s-\rho \operatorname {d} \sigma ),$

ou plutôt

$\operatorname {d} S={\frac {1}{2}}\left(r{\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}-\rho {\frac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} x}}\right)\,;$

mais, en supposant $\rho <r,$ nous avons trouvé

$\rho =r-k,\qquad {\frac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}}-{\frac {k{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}}{1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}\,;$

substituant donc et réduisant, on aura