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MOYEN.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$x={\frac {{\frac {a}{{\frac {P_{1}}{n}}-a}}+{\frac {b}{{\frac {P_{1}}{n}}-b}}+{\frac {c}{{\frac {P_{1}}{n}}-c}}+{\frac {d}{{\frac {P_{1}}{n}}-d}}+\ldots }{{\frac {1}{{\frac {P_{1}}{n}}-a}}+{\frac {1}{{\frac {P_{1}}{n}}-b}}+{\frac {1}{{\frac {P_{1}}{n}}-c}}+{\frac {1}{{\frac {P_{1}}{n}}-d}}+\ldots }}.$

ou, plus simplement,

$x={\frac {{\frac {a}{P_{1}-na}}+{\frac {b}{P_{1}-nb}}+{\frac {c}{P_{1}-nc}}+{\frac {d}{P_{1}-nd}}+\ldots }{{\frac {1}{P_{1}-na}}+{\frac {1}{P_{1}-nb}}+{\frac {1}{P_{1}-nc}}+{\frac {1}{P_{1}-nd}}+\ldots }}.$

On trouve facilement que cette formule revient à

$x={\frac {P_{1}^{n}+nP_{1}^{n-2}\left(S_{2}-S_{1}P_{1}\right)+n^{2}P_{1}^{n-3}\left(S_{3}-S_{2}P_{1}+S_{1}P_{2}\right)+\ldots \pm n^{n}P_{n}}{nP_{1}^{n-1}-n(n-1)P_{1}P_{1}^{n-2}+n^{2}(n-2)P_{2}P_{1}^{n-3}-n^{3}(n-3)P_{3}P_{1}^{n-4}+\ldots \pm n^{n-1}P_{n-1}}}\,;$

$S_{k}$ exprimant, en général, la somme des puissances $k$ des données. Mais il est connu d’ailleurs que

$S_{2}-S_{1}P_{1}=-2P_{2},$

$S_{3}-S_{2}P_{1}+S_{1}P_{2}=+3P_{3},$

$S_{4}-S_{3}P_{1}+S_{2}P_{2}-S_{1}P_{3}=-4P_{4},$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

en substituant donc, il viendra, pour seconde moyenne approchée

$x={\frac {P_{1}P_{1}^{n-1}-2nP_{2}P_{1}^{n-2}+3n^{2}P_{3}P_{1}^{n-3}-4n^{3}P_{4}P_{1}^{n-4}+\ldots \pm n.n^{n-1}P_{n}}{nP_{1}^{n-1}-n(n-1)P_{1}P_{1}^{n-2}+n^{2}(n-2)P_{2}P_{1}^{n-3}-n^{3}(n-3)P_{3}P_{1}^{n-4}+\ldots \pm n^{n-1}P_{n-1}}}$

Or, de même que nous nous sommes servis de la première valeur