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MOYEN.

${\frac {48+324+6480+12}{16+81+1296+1}}={\frac {6864}{1394}}={\frac {3432}{697}}=4+{\frac {644}{697}}.$

Prenant donc ${\frac {3432}{697}}$ pour troisième approximation, nous aurons, pour quatrième valeur approchée,

${\frac {{\frac {3}{({\frac {3432}{697}}-3)^{2}}}+{\frac {4}{({\frac {3432}{697}}-4)^{2}}}+{\frac {5}{({\frac {3432}{697}}-5)^{2}}}+{\frac {12}{({\frac {3432}{697}}-12)^{2}}}}{{\frac {1}{({\frac {3432}{697}}-3)^{2}}}+{\frac {1}{({\frac {3432}{697}}-4)^{2}}}+{\frac {1}{({\frac {3432}{697}}-5)^{2}}}+{\frac {1}{({\frac {3432}{697}}-12)^{2}}}}},$

c’est-à-dire,

${\frac {{\frac {3}{(3432-2091)^{2}}}+{\frac {4}{(3432-2788)^{2}}}+{\frac {5}{(3432-3485)^{2}}}+{\frac {12}{(3432-8364)^{2}}}}{{\frac {1}{(3432-2091)^{2}}}+{\frac {1}{(3432-2788)^{2}}}+{\frac {1}{(3432-3485)^{2}}}+{\frac {1}{(3432-8364)^{2}}}}},$

ou encore

${\frac {{\frac {3}{457281}}+{\frac {4}{414736}}+{\frac {5}{2809}}+{\frac {12}{24324624}}}{{\frac {1}{457281}}+{\frac {1}{414736}}+{\frac {1}{2809}}+{\frac {1}{24324624}}}},$

ce qui donne, toutes réductions faites,

${\frac {3522747349095670}{705821720852223}}=4+{\frac {705821720852223}{699460465686778}}.$

Nous ne pousserons pas plus loin ce calcul, qui se compliquerait de plus en plus, mais que pourtant on pourrait abréger un peu, comme tous les calculs approximatifs. Nous remarquerons seulement qu’en réduisant nos valeurs successives en décimales, et prenant leurs différences consécutives, on a

${\begin{array}{lr}\mathrm {Premi{\grave {e}}re\ approximation} &6{,}00000,\\\mathrm {Deuxi{\grave {e}}me} \ldots \ldots &4{,}80000,\\\mathrm {Troisi{\grave {e}}me} \ldots \ldots &4{,}92396,\\\mathrm {Quatri{\grave {e}}me} \ldots \ldots &4299099,\end{array}}{\begin{aligned}&-1{,}20000,\\&+0{,}12396,\\&+0{,}06703\,;\end{aligned}}$