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INTÉGRALES

${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}.$ Pour les autres valeurs de $n,$ il paraît, en général, impossible de ramener à une seule les $n$ séries différentes ; c’est pourquoi nous nous bornerons, pour le moment, aux cas ou $n=1$ ou $2.$

Soit donc $U=u^{\alpha }(1-au)^{\beta }$ et $U_{1}=u^{\gamma }(1-au)^{\delta },$ on aura, en supposant $\alpha$ et $\gamma$ des nombres entiers,

$\int u^{\gamma }\left(1-au\right)^{\delta }\operatorname {F} \left[u^{\alpha }\left(1-au\right)^{\beta }\right]\operatorname {d} u=$

$S.y_{x}{\frac {1.2.3\ldots (\gamma +\alpha x)}{(1+\delta +\beta x)\ldots \left[1+\delta +\gamma +(\beta +\alpha )x\right]a^{\gamma +\alpha x+1}}}\,;\left\{{\begin{aligned}&u=0\\&u={\frac {1}{a}}\end{aligned}}\right\}$

d’où

$\int u^{\gamma }e^{-\delta u}\operatorname {F} \left(u^{\alpha },e^{-\beta u}\right)\operatorname {d} u=S.y_{x}{\frac {1.2.3\ldots (\gamma +\alpha x)}{(\delta +\beta x)^{\gamma +\alpha x+1}}}.\left\{{\begin{aligned}&u=0\\&u=\infty \end{aligned}}\right\}$

Si, par exemple, on a $\operatorname {F} (t)=e^{t},$ on aura

${\frac {1}{\delta }}+{\frac {1}{(\delta +\beta )^{2}}}+{\frac {1}{(\delta +2\beta )^{3}}}+\ldots =\int e^{-\delta u}.e^{ue^{-\beta u}}\operatorname {d} u\,;$

et si l’on fait $\operatorname {F} (t)=\operatorname {Cos} .t,$

${\frac {1}{\delta }}-{\frac {1}{(\delta +\beta )^{3}}}+{\frac {1}{(\delta +2\beta )^{5}}}-\ldots =\int e^{-\delta u}.\operatorname {Cos} .ue^{-\beta u}\operatorname {d} u,$

et ainsi de suite.

Si $\gamma$ n’était pas entier, il faudrait ramener l’intégrale $\int u^{\gamma +\alpha x}\left(1-au\right)^{\delta +\beta x}$ à celle-ci

${\frac {(\gamma +\alpha x)\ldots (\gamma +1)}{a^{\alpha x}(\gamma +\alpha x+\delta +\beta x+1)\ldots (\gamma +\delta +\beta x+2)}}\int u^{\gamma }\left(1-au\right)^{\delta +\beta x}\operatorname {d} u\,;$

mais $x$ étant différent pour les différens termes de la suite, il