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INTÉGRALES
Pour les autres valeurs de
il paraît, en général, impossible de ramener à une seule les
séries différentes ; c’est pourquoi nous nous bornerons, pour le moment, aux cas ou
ou ![{\displaystyle 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2b3373a07e65d3312989163b5ebd400af86480)
Soit donc
et
on aura, en supposant
et
des nombres entiers,
![{\displaystyle \int u^{\gamma }\left(1-au\right)^{\delta }\operatorname {F} \left[u^{\alpha }\left(1-au\right)^{\beta }\right]\operatorname {d} u=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b2e2cbde533f30328ba0e2f27591441cdac2fc4)
![{\displaystyle S.y_{x}{\frac {1.2.3\ldots (\gamma +\alpha x)}{(1+\delta +\beta x)\ldots \left[1+\delta +\gamma +(\beta +\alpha )x\right]a^{\gamma +\alpha x+1}}}\,;\left\{{\begin{aligned}&u=0\\&u={\frac {1}{a}}\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abc3b92a50e6de524764aa2209138fe46e64852)
d’où
![{\displaystyle \int u^{\gamma }e^{-\delta u}\operatorname {F} \left(u^{\alpha },e^{-\beta u}\right)\operatorname {d} u=S.y_{x}{\frac {1.2.3\ldots (\gamma +\alpha x)}{(\delta +\beta x)^{\gamma +\alpha x+1}}}.\left\{{\begin{aligned}&u=0\\&u=\infty \end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a4c1a2bcb64981fa47a8fca16dd0f8a554b47c)
Si, par exemple, on a
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{\delta }}+{\frac {1}{(\delta +\beta )^{2}}}+{\frac {1}{(\delta +2\beta )^{3}}}+\ldots =\int e^{-\delta u}.e^{ue^{-\beta u}}\operatorname {d} u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b07786ea64d34e5ded34f3f7d2a08e0ceddb2bea)
et si l’on fait ![{\displaystyle \operatorname {F} (t)=\operatorname {Cos} .t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c0f5f8606514340b0f5ced8a956dff5d845cb5)
![{\displaystyle {\frac {1}{\delta }}-{\frac {1}{(\delta +\beta )^{3}}}+{\frac {1}{(\delta +2\beta )^{5}}}-\ldots =\int e^{-\delta u}.\operatorname {Cos} .ue^{-\beta u}\operatorname {d} u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680cda6d72283cd5b63a85d885a0cd1e3418e81b)
et ainsi de suite.
Si
n’était pas entier, il faudrait ramener l’intégrale
à celle-ci
![{\displaystyle {\frac {(\gamma +\alpha x)\ldots (\gamma +1)}{a^{\alpha x}(\gamma +\alpha x+\delta +\beta x+1)\ldots (\gamma +\delta +\beta x+2)}}\int u^{\gamma }\left(1-au\right)^{\delta +\beta x}\operatorname {d} u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c20eff6144fb1cce5dd2bb5229dd53ba6176491)
mais
étant différent pour les différens termes de la suite, il