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DÉFINIES.

faut absolument supposer $\beta =0,$ à moins que l’on ne veuille introduire une transcendante irréductible dans chaque terme.

Faisant, par exemple,

$y_{x}={\frac {\left(-c^{2}\right)^{x}}{1.2.3\ldots 2x}},$

on aura

$\int u^{\gamma }\left(1-au\right)^{\delta }\operatorname {Cos} .cu.\operatorname {d} u=$

$\left\{1-{\tfrac {(\gamma +1)(\gamma +2)c^{2}}{1.2a^{2}(\gamma +\delta +2)(\gamma +\delta +3)}}+{\tfrac {(\gamma +1)(\gamma +2)(\gamma +3)(\gamma +4)c^{4}}{1\ldots 4a^{4}(\gamma +\delta +2)\ldots (\gamma +\delta +5)}}-\ldots \right\}\int u^{\gamma }\left(1-au\right)^{\delta }\operatorname {d} u$

d’où

$\int u^{\gamma }e^{-\delta u}\operatorname {Cos} .cu.\operatorname {d} u=$

$\left\{1-{\frac {(\gamma +1)(\gamma +2)}{1.2\delta ^{2}}}c^{2}+{\frac {(\gamma +1)\ldots (\gamma +4)}{1.2.3.4\delta ^{4}}}c^{4}-\ldots \right\}\int u^{\gamma }e^{-\delta u}\operatorname {d} u$

$={\frac {\left(1-{\frac {c}{\delta }}{\sqrt {-1}}\right)^{-(\gamma +1)}+\left(1+{\frac {c}{\delta }}{\sqrt {-1}}\right)^{-(\gamma +1)}}{2}}\int u^{\gamma }e^{-\delta u}\operatorname {d} u\left({\begin{aligned}&u=0\\&u=\infty \end{aligned}}\right)$

On fait aisément disparaître les imaginaires contenus dans cette dernière expression, en observant que

$\operatorname {Cos} .mx={\tfrac {(\operatorname {Cos} .x)^{-m}}{2}}\left\{\left(1+{\sqrt {-1}}{\tfrac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .x}}\right)^{-m}+\left(1-{\sqrt {-1}}{\tfrac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Cos} .x}}\right)^{-m}\right\}$

et faisant $\operatorname {Tang} .x={\frac {c}{\delta }},$ d’où

$\operatorname {Cos} .x={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {c^{2}}{\delta ^{2}}}}}}\,;$

on aura ainsi