mais, est la longueur de la courbe aux centres ; donc aussi
L’aire du trapèze mixtiligne compris entre les arcs correspondans de deux courbes parallèles et les normales à leurs extrémités, est égale à l’aire du rectangle qui, ayant pour base la longueur de l’arc de la courbe aux centres compris entre les mêmes normales, aurait pour hauteur la distance constante entre les deux courbes extrêmes.
Tous ces résultats peuvent, au surplus, être obtenus sans le moindre calcul. En considérant le trapèze élémentaire compris entre deux normales infiniment voisines, on voit que son aire est la parallèle à ses deux bases également distante de l’une et de l’autre, c’est-à-dire l’arc de la courbe aux centres intercepté, multiplié par sa hauteur, c’est-à-dire, par la distance constante entre les deux courbes extrêmes ; prenant donc la somme de tous les produits de cette sorte, à cause du second facteur qui est constant, on tombera sur notre dernier théorème, d’où il sera facile ensuite de déduire les deux qui le précèdent.
Dans le cas de deux courbes parallèles entièrement fermées, comme seraient deux ellipses, l’angle des normales extrêmes étant égal à deux angles droits, on voit que l’espace compris entre elles a pour mesure le rectangle qui, ayant pour base la courbe enveloppante, aurait pour hauteur la distance entre les deux courbes, moins le cercle qui aurait cette même distance pour rayon ; ou bien le rectangle qui, ayant pour base la courbe enveloppée et même hauteur que le premier, augmenté de ce même cercle.
Pour suivre la même marche que nous avons observée dans la théorie des courbes planes parallèles, voyons, en premier lieu,
