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ET DES SURFACES COURBES.

comment nous déterminerons une surface parallèle à une surface donnée qui en soit distante d’une quantité donnée. Soient $x,y,z$ les coordonnées de la surface donnée, $t,u,v$ celles de la surface cherchée, et $k$ la longueur commune des normales à la première terminées à la seconde. Soit $(x',y',z')$ un point de la première courbe ; et soit $(t',u',v')$ le point correspondant de la seconde ; les équations de la normale à la première courbe, au point particulier que l’on considère seront, comme l’on sait,

${\begin{aligned}&(x-x')+(z-z'){\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}=0,\\\\&(y-y')+(z-z'){\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} y'}}=0\,;\end{aligned}}$

puis donc que le point $(t',u',v')$ doit être sur cette normale, et à une distance $k$ de son point de départ, on doit avoir, à la fois,

${\begin{aligned}&(t'-x')+(v'-z'){\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} x'}}=0,\\\\&(u'-y')+(v'-z'){\frac {\operatorname {d} z'}{\operatorname {d} y'}}=0,\end{aligned}}$

$(t'-x')^{2}+(u'-y')^{2}+(v'-z')^{2}=k^{2}\,;$

ou, en supprimant les accens, désormais inutiles,

${\begin{aligned}(t-x)+(v-z){\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=0,\qquad \qquad &(1)\\\\(u-y)+(v-z){\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}=0,\qquad \qquad &(2)\end{aligned}}$

$(t-x)^{2}+(u-y)^{2}+(v-z)^{2}=k^{2}\,;\qquad (3)$

équations qui résolvent le problème.