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DÉFINIES.

${\frac {\varpi }{2}}e^{-ax}=\int {\frac {a\operatorname {d} u\operatorname {Cos} .nu}{a^{2}+u^{2}}}=\int {\frac {u\operatorname {d} u\operatorname {Sin} .nu}{a^{2}+u^{2}}}\,;\qquad \left({\begin{aligned}&u=0\\&u=\infty \end{aligned}}\right)$

et l’on sait que ces formes servent de base à un grand nombre d’autres, plus ou moins élégantes, telles que

$\int {\frac {P\operatorname {Cos} .nu+Qu\operatorname {Sin} .nu}{M}}\operatorname {d} u,$

$P,Q,M$ étant des fonctions quelconques rationnelles qui ne contiennent que des puissances paires de $u,$ et $M$ n’ayant aucun diviseur qui devienne zéro, pour des valeurs réelles positives de $n.$

De même, la fonction $\operatorname {F} (\operatorname {Cos} .u)$ étant développable, suivant des cosinus multiples ; on fait dépendre de la même forme l’intégrale

$\int {\frac {\operatorname {F} (\operatorname {Cos} .nu)\operatorname {d} u}{M}}\,;$

et, dans le cas où $\operatorname {F} (\operatorname {Cos} .u)$ a la forme $\operatorname {Log} .(1+a\operatorname {Cos} .u),$ on sait que cette intégrale se ramène à une forme finie.

Soit encore

$\operatorname {f} (x)=\int e^{-t^{2}-{\frac {x^{2}}{t^{2}}}}\operatorname {d} t\,;\qquad \left({\begin{aligned}&t=0\\&t=\infty \end{aligned}}\right)$

dans ce cas, on aura

${\frac {\varpi }{2}}\int e^{-t^{2}-{\frac {x^{2}}{t^{2}}}}\operatorname {d} t=\iiint \operatorname {d} x\operatorname {d} u\operatorname {d} t\operatorname {Cos} .nu\operatorname {Cos} .xu.e^{-t^{2}-{\frac {x^{2}}{t^{2}}}}$

Intégrant par rapport à $t,$ et faisant $t^{2}=v,$ on aura

${\frac {\sqrt {\varpi }}{4}}\iint \operatorname {d} u\operatorname {d} v\operatorname {Cos} .nu.e^{-v\left({\frac {u^{2}}{4}}+1\right)}={\sqrt {\varpi }}\int {\frac {\operatorname {d} u\operatorname {Cos} .nu}{4+u^{2}}}\,;$

d’où, comme l’on sait,