plus grand quadrilatère inscrit et le plus petit quadrilatère circonscrit au cercle ; or, il est connu, et il est d’ailleurs très-facile de démontrer que ces derniers sont des quarrés ; et comme d’ailleurs, dans le cas actuel, les parallélogrammes conjugués, inscrits et circonscrits, sont les seuls dont les projections puissent être telles, il en résulte qu’eux seuls peuvent être maximums et minimums.
Corollaire. Il suit de là, entre autres conséquences, que, parmi toutes les ellipses circonscrites ou inscrites à un même parallélogramme, l’ellipse circonscrite de telle sorte qu’elle ait pour diamètres conjugués les deux diagonales du parallélogramme, et l’ellipse inscrite de manière qu’elle ait pour diamètres conjugués les droites qui joignent les milieux de ses côtés opposés sont, la première minimum et la seconde maximum.
THÉORÈME II. Parmi tous les octaèdres hexagones inscrits à un même ellipsoïde, de telle sorte que leurs sommets soient les extrémités de trois diamètres de l’ellipsoïde, l’octaèdre conjugué, c’est-à-dire, l’octaèdre inscrit dont les sommets sont les extrémités de trois diamètres conjugués, est celui dont le volume est un maximum ; et, parmi tous les hexaèdres octogones circonscrits, de telle sorte que leurs points de contact soient les extrémités de trois diamètres de l’ellipsoïde, l’hexaèdre conjugué, c’est-à-dire, l’hexaèdre circonscrit dont les points de contact sont les extrémités de trois diamètres conjugués, est celui dont le volume est un minimum.
Démonstration. 1.o Si, parmi les octaèdres hexagones inscrits, dont les sommets sont les extrémités de trois diamètres de l’ellipsoïde, l’octaèdre conjugué n’était pas le plus grand, il faudrait que, dans l’octaèdre maximum inscrit, deux au moins des diagonales ne fussent pas conjuguées l’une à l’autre, et ne fussent pas conséquemment des diamètres conjugués de la section elliptique qui les contient. Or, le plan de cette section divise l’octaèdre en deux pyramides quadrangulaires de même hauteur, ayant base
