commune, laquelle ne serait pas (Théorème I.) le plus grand quadrilatère inscrit à l’ellipse ; en lui substituant donc ce plus grand quadrilatère inscrit, et en conservant d’ailleurs-les mêmes sommets, on obtiendrait un nouvel octaèdre inscrit, composé de deux pyramides de même hauteur que les premières, mais d’une plus grande base, et conséquemment d’un plus grand volume ; cet octaèdre serait donc plus grand que le premier, qui par conséquent ne saurait être l’octaèdre maximum.
2.o Si, parmi les hexaèdres octogones circonscrits, dont les points de contact sont les extrémités de trois diamètres de l’ellipsoïde, l’hexaèdre conjugué n’était pas le plus petit, il faudrait que dans l’hexaèdre minimum circonscrit, deux au moins des droites qui joignent les points de contact opposés ne fussent pas conjuguées l’une à l’autre, et ne fussent pas conséquemment deux diamètres conjugués de la section elliptique qui les contient. Or, le plan de cette section divise l’hexaèdre total en deux hexaèdres partiels de même hauteur, ayant base commune ; laquelle ne serait pas (Théorème I) le plus petit quadrilatère circonscrit à l’ellipse ; en lui substituant donc ce plus petit quadrilatère circonscrit, et en conservant d’ailleurs, les plans des deux faces de l’hexaèdre total qui lui sont parallèles, on obtiendrait un nouvel hexaèdre circonscrit, composé de deux hexaèdres partiels de même hauteur que les premiers, mais d’une moindre base, et conséquemment d’un moindre volume. ; cet hexaèdre serait donc moindre que le premier, qui par conséquent ne saurait être l’hexaèdre minimum.
Corollaire. Il résulte de là, 1.o qu’entre tous les ellipsoïdes circonscrits à un même hexaèdre octogone, dans lequel les trois diagonales se coupent au même point par leurs milieux, le plus petit est celui qui a ces trois diagonales pour diamètres conjugués ; 2.o qu’entre tous les ellipsoïdes inscrits à un même hexaèdre octogone, à faces parallèles, le plus grand est celui qui a pour diamètres conjugués les droites qui joignent les centres des faces opposées de cet hexaèdre.
