Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1821-1822, Tome 12.djvu/243

237

DES SECTIONS CONIQUES.

aura tout ce qu’il faut pour déterminer complètement le lieu des centres de l’une et de l’autre séries.

Soient $\alpha ,\beta$ les coordonnées de l’un ${\rm {P}}$ des deux points fixes dont il s’agit ; l’équation de la droite correspondante ${\rm {CP}}$ sera

$y={\frac {\beta }{\alpha }}x=\lambda x,$

en faisant, pour abréger, $\beta =\lambda \alpha$ ; de sorte que tout consiste à déterminer $\lambda .$

On pourrait, à cet effet, employer le calcul algébrique ; mais il exigerait une suite d’opérations très-pénibles. On parviendra plus simplement au même but, en employant les relations obtenues par la géométrie. En effet, indépendamment de celles déjà signalées ci-dessus, et qui suffisent pour déterminer le point ${\rm {P}}$ que l’on considère en particulier, on a encore la suivante, qu’il serait, au surplus, facile d’en déduire, si déjà elle ne se trouvait toute établie,

$\mathrm {{\frac {{\overline {PX}}^{2}}{{\overline {PY}}^{2}}}={\frac {AX}{AY}}.{\frac {A'X}{A'Y}}}$^[1].

Mais, en abaissant de l’un quelconque ${\rm {A}}$ des deux points donnés, les coordonnées ${\rm {Aa,Ab,}}$ sur les axes ${\rm {CX,CY,}}$ on a, par les triangles semblables ${\rm {AaX,AbY,CXY,}}$

$\mathrm {{\frac {AX}{Aa}}={\frac {XY}{CY}},\qquad {\frac {AY}{Ab}}={\frac {XY}{CX}}} \,;$

d’où

$\mathrm {{\frac {AX}{AY}}={\frac {CX}{CY}}.{\frac {Aa}{Ab}}={\frac {CX}{CY}}} .{\frac {b}{a}}.$

On aurait de même

1. Voyez l’ouvrage déjà cité, art. XV.