Le point ne pouvant être évidemment le centre d’une hyperbole équilatère satisfaisant aux conditions du problème, il s’ensuit que, relativement à la série de sections coniques que l’on considère, et dont les cordes de contact passent par le problème ne peut avoir que deux solutions au plus, et par conséquent quatre solutions seulement, quand on le considère dans toute sa généralité. On peut d’ailleurs éviter entièrement le tracé de la section conique auxiliaire lieu des centres, en observant que tout consiste à rechercher les points d’intersection du cercle correspondant avec la sécante qui est commune à ce cercle et à la section conique auxiliaire.
Dans un ouvrage que nous ferons paraître incessamment, nous donnerons le moyen de construire directement la sécante commune au système de deux sections coniques qui se touchent sur un plan, sans recourir au tracé des deux courbes. Il serait trop long de développer ici le principe de cette construction ; c’est pourquoi nous nous contenterons d’indiquer la solution appliquée au cas particulier qui nous occupe, on sait d’ailleurs construire les deux points tout consiste, en effet[1], à faire passer un cercle quelconque par les points donnés menant ensuite des points deux paires de tangentes à ce cercle, et joignant deux à deux, par des droites, les points de contact qui n’appartiennent pas à une même paire de tangente ; ces quatre droites donneront évidemment, par leur croisement mutuel, les deux points dont il s’agit.
Cela posé, soit le second point d’intersection de et du cercle qui renferme les centres des hyperboles équilatères que l’on considère en particulier, en menant cette droite ira rencontrer la droite en un premier point de la sécante commune ; menant ensuite la tangente au point du cercle, cette dernière
- ↑ Mémoire sur les lignes du second ordre ; par M. Brianchon, pag. 21.
