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RECHERCHE DU CENTRE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

droite qui joint l’intersection des deux droites données au milieu de l’intervalle entre les deux points donnés.

5.^o En posant, pour abréger,

$(b+b')(a-a'){\sqrt {bb'}}+(a+a')(b-b')^{2}{\sqrt {aa'}}=N.$

on tire encore de notre double équation, par différentiation

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {(b+b')\left\{N\left[(b+b')x-(a+a')y\right]-M\left[4x-(a+a')\right]{\sqrt {bb'}}\right\}}{(a+a')\left\{N\left[(b+b')x-(a+a')y\right]\pm M\left[4x-(b+b')\right]{\sqrt {aa'}}\right\}}}\,;$

valeur qui devient à l’origine

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\pm {\frac {\sqrt {bb'}}{\sqrt {aa'}}},$

l’équation commune des tangentes aux deux courbes par l’origine est donc

${\frac {y}{\sqrt {bb'}}}=\pm {\frac {x}{\sqrt {aa'}}}.$

Il est aisé de voir, d’après cela, que si, ayant pris sur les deux droites données, à partir de leurs points d’intersection, et de part et d’autre de ce point, des parties respectivement égales à ${\sqrt {aa'}},\ {\sqrt {bb'}},$ on considère les quatre points déterminés par cette construction comme les quatre sommets d’un parallélogramme ayant conséquemment ces deux droites pour diagonales, les droites qui, dans ce parallélogramme, joindront les milieux des côtés opposés seront les tangentes aux deux courbes par l’origine.

Si l’on demande présentement à quels caractères on peut reconnaître qu’une équation donnée du quatrième degré en $x$ et $y$