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RECHERCHE DU CENTRE

ANALISE TRANSCENDANTE.

Note sur les équations différentielles partielles
et sur les intégrales définies ;

Par M. Frédéric Sarrus, docteur es sciences, professeur
de mathématiques au collége de Pézenas.

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L’on a beaucoup multiplié, dans ces derniers temps, l’application des intégrales définies à l’intégration des équations différentielles partielles ; mais personne, du moins que je sache, ne paraît avoir songé à renverser la question, je veux dire, à appliquer l’intégration des équations différentielles partielles à la recherche des intégrales définies. Cette manière de procéder peut pourtant conduire souvent au but d’une manière fort simple ; et c’est ce que je me propose de faire voir ici, par un exemple.

Soit la formule

$y=\int e^{-b^{x}}X\operatorname {d} x.\operatorname {Cos} .ax,$

où $X$ désigne une fonction quelconque de $x,$ sans $a$ ni $b,$ et où les limites de l’intégrale, indépendantes des mêmes quantités, sont d’ailleurs supposées quelconques. En différentiant deux fois successivement par rapport à $a$ et $b,$ il viendra

${\begin{array}{rlrl}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}&=-\int e^{-b^{x}}Xx\operatorname {d} x.\operatorname {Sin} .ax,&{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} b}}&=-\int e^{-b^{x}}Xx\operatorname {d} x.\operatorname {Cos} .ax,\\\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} a^{2}}}&=-\int e^{-b^{x}}Xx^{2}\operatorname {d} x.\operatorname {Cos} .ax,&{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} b^{2}}}&=+\int e^{-b^{x}}Xx^{2}\operatorname {d} x.\operatorname {Cos} .ax\,;\end{array}}$

d’où