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INTÉGRALES

de sorte que, toutes les fois que l’on saura trouver cette dernière intégrale, on en déduira facilement la valeur complète de $y.$

Si, par exemple, on prend

$X=x^{n-1},$

on aura

$y=\int e^{-bx}x^{n-1}\operatorname {d} x,$

dont l’intégrale entre $x=0$ et $x=\infty$ est

${\frac {1}{b^{n}}}\int e^{-x}x^{n-1}\operatorname {d} x\,;$

donc

$2\phi (b)={\frac {1}{b^{n}}}\int e^{-x}x^{n-1}\operatorname {d} x,\quad$d’où$\quad \phi (b)={\frac {1}{2}}b^{-n}\int e^{-x}x^{n-1}\operatorname {d} x\,;$

et par conséquent

$y=\left\{{\frac {1}{2}}\left(b+a{\sqrt {-1}}\right)^{-n}+{\frac {1}{2}}\left(b-a{\sqrt {-1}}\right)^{-n}\right\}\int e^{-x}x^{n-1}\operatorname {d} x.$

Si l’on fait ensuite

$b=k\operatorname {Cos} .t,\qquad a=k\operatorname {Sin} .t,$

on aura

$y=\int e^{-bx}x^{n-1}\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .ax={\frac {\operatorname {Cos} .nt}{k^{n}}}\int e^{-x}x^{n-1}\operatorname {d} x.\qquad \left\{{\begin{aligned}&x=0\\&x=\infty \end{aligned}}\right\}$

on trouverait semblablement

$y=\int e^{-bx}x^{n-1}\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .ax={\frac {\operatorname {Sin} .nt}{k^{n}}}\int e^{-x}x^{n-1}\operatorname {d} x\,;\qquad \left\{{\begin{aligned}&x=0\\&x=\infty \end{aligned}}\right\}$

$k$ et $t$ conservant les mêmes valeurs que dans la formule précédente.

La même marche peut conduire à un résultat que je me crois fondé à regarder comme intéressant. Soit