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DÉFINIES.

$\int \phi (x,b)\operatorname {d} x=\psi (b),\qquad$(1)

et

$\int \left\{\phi \left(x,b+a{\sqrt {-1}}\right)+\phi \left(x,b-a{\sqrt {-1}}\right)\right\}\operatorname {d} x=y,$

l’on en conclura, en général, comme ci-dessus,

${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} a^{2}}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} b^{2}}}=0\,;\qquad$(2)

et par conséquent

$y=\operatorname {F} \left(b+a{\sqrt {-1}}\right)+\Phi \left(b-a{\sqrt {-1}}\right),$

$\operatorname {F}$ et $\Phi$ désignant des fonctions arbitraires quelconques ; mais, si l’on fait $a=0,$ on devra avoir, en vertu de l’équation (1)

$\operatorname {F} (b)+\Phi (b)=2\psi (b)\,;$

d’où, en observant que $a$ et ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} a}}$ doivent être nuls en même temps, on conclura

$\operatorname {F} (b)=\Phi (b)=\psi (b),$

et par conséquent

$y=\psi \left(b+a{\sqrt {-1}}\right)+\psi \left(b-a{\sqrt {-1}}\right).$

On trouverait de même que, sous la même condition,

$\int {\frac {\phi \left(x,b+a{\sqrt {-1}}\right)-\phi \left(x,b-a{\sqrt {-1}}\right)}{\sqrt {-1}}}\operatorname {d} x=y,$

donne

$y={\frac {\psi \left(b+a{\sqrt {-1}}\right)-\psi \left(b-a{\sqrt {-1}}\right)}{\sqrt {-1}}}\,;$

ce qui fait voir que l’emploi du passage du réel à l’imaginaire est permis, toutes les fois qu’il est permis de différentier sous le signe $\int$ des fonctions que ce signe affecte, par rapport aux constantes que ces fonctions peuvent renfermer.

Les diverses formules qu’on avait obtenues, au moyen de ce passage, se trouvent, par ce qui précède, rigoureusement démontrées, et ce même passage cesse dès-lors d’être regardé comme le résultat d’une simple induction.

Pézenas, le 8 janvier 1822.