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DES FORCES.

Si, dans l’équation (4), on change \nu en ${\frac {\varpi }{2}}-\nu$ elle devient

$\psi (\nu +z)=\psi (\nu )\psi (z)-\psi \left({\frac {\varpi }{2}}-\nu \right)\psi \left({\frac {\varpi }{2}}-z\right).\qquad$(6)

Si, dans l’équation (3), on change respectivement $\nu$ et $z$ en $\nu +i$ et $z+i,$ son premier membre ne devra en éprouver aucun changement, et conséquemment son second membre devra demeurer le même, et il en sera de même dans la seconde, si l’on change à la fois $\nu$ et $z$ en $\nu +i$ et $z-i\,;$ il faudra donc que, dans le

${\begin{alignedat}{2}x'=&{\frac {XY}{Z}},\qquad &y'=&{\frac {XY}{Z}},\\\\x=&{\frac {X^{2}}{Z}},&y=&{\frac {Y^{2}}{Z}}.\end{alignedat}}$

Les deux composantes $x',y'$ sont donc égales ; et, comme elles sont directement opposées, elles doivent se détruire, comme on pouvait bien d’ailleurs le prévoir, puisque les quatre composantes $x,y,x',y'$ doivent finalement se réduire à la force unique $Z,$ et que déjà les deux premières agissent suivant sa direction.

On doit donc avoir, d’après cela,

$Z=x+y={\frac {X^{2}}{Z}}+{\frac {Y^{2}}{Z}},$

et conséquemment

$Z^{2}=X^{2}+Y^{2}.$

C’est à cela finalement que se réduit le raisonnement de M. Laplace.

En mettant, dans cette équation, pour $X,Y$ leurs valeurs (1, 2) et divisant par $Z^{2},$ on retombe sur l’équation (5).

J. D. G.