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DES FORCES.
Si, dans l’équation (4), on change \nu en
elle devient
![{\displaystyle \psi (\nu +z)=\psi (\nu )\psi (z)-\psi \left({\frac {\varpi }{2}}-\nu \right)\psi \left({\frac {\varpi }{2}}-z\right).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d8c794d15c9a659b8d964bcccc571f2d2b48f7)
(6)
Si, dans l’équation (3), on change respectivement
et
en
et
son premier membre ne devra en éprouver aucun changement, et conséquemment son second membre devra demeurer le même, et il en sera de même dans la seconde, si l’on change à la fois
et
en
et
il faudra donc que, dans le
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x'=&{\frac {XY}{Z}},\qquad &y'=&{\frac {XY}{Z}},\\\\x=&{\frac {X^{2}}{Z}},&y=&{\frac {Y^{2}}{Z}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddd506c7c2be64b533c764a9b729b287c7421bd9)
Les deux composantes
sont donc égales ; et, comme elles sont directement opposées, elles doivent se détruire, comme on pouvait bien d’ailleurs le prévoir, puisque les quatre composantes
doivent finalement se réduire à la force unique
et que déjà les deux premières agissent suivant sa direction.
On doit donc avoir, d’après cela,
![{\displaystyle Z=x+y={\frac {X^{2}}{Z}}+{\frac {Y^{2}}{Z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e516e4bbef681dead0cc4fdc7af97551215a282)
et conséquemment
![{\displaystyle Z^{2}=X^{2}+Y^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e26258d80746b2e6f593e854bf099f0fe8ff895)
C’est à cela finalement que se réduit le raisonnement de M. Laplace.
En mettant, dans cette équation, pour
leurs valeurs (1, 2) et divisant par
on retombe sur l’équation (5).
J. D. G.