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QUADRILATÈRE INSCRIT.

TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE.

Recherches sur les quadrilatères, tant rectilignes
que sphériques, inscrits au cercle ;

Par M. Guéneau d’Aumont, professeur, secrétaire
et conservateur de l’observatoire de la faculté des sciences de Dijon.

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§. I. Quadrilatère rectiligne.

Soient $a,b,c,d$ les côtés consécutifs d’un quadrilatère rectiligne inscrit au cercle ; soient $x,y$ les deux diagonales, la première se terminant aux sommets des angles $(a,b),(c,d),$ et l’autre aux sommets des angles $(b,c),(a,d).$

Par la nature du quadrilatère inscrit, on aura

${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .(a,d)&=-\operatorname {Cos} .(b,c)={\frac {a^{2}+d^{2}-x^{2}}{2ad}}=-{\frac {b^{2}+c^{2}-x^{2}}{2bc}},\\\\\operatorname {Cos} .(a,b)&=-\operatorname {Cos} .(c,d)={\frac {a^{2}+b^{2}-y^{2}}{2ab}}=-{\frac {c^{2}+d^{2}-y^{2}}{2cd}}\,;\end{aligned}}$

donc

${\begin{aligned}&{\frac {a^{2}+d^{2}-x^{2}}{ad}}+{\frac {b^{2}+c^{2}-x^{2}}{bc}}=0,\\\\&{\frac {a^{2}+b^{2}-y^{2}}{ab}}+{\frac {c^{2}+d^{2}-y^{2}}{cd}}=0\,;\end{aligned}}$

équations d’où on tire