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ET DES SURFACES COURBES.
surface des centres dont le rayon est
on aura
. En chassant
de l’expression ci-dessus, au-moyen de cette équation, elle devient, toutes réductions faites,
![{\displaystyle ks+2.{\frac {4}{3}}\varpi \left({\frac {k}{2}}\right)^{5}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44bb49ca2cb696e64417a91b7047b57dec5834d8)
ce qui montre que l’espace compris entre deux sphères concentriques n’est pas seulement égal au produit de la surface des centres par la distance entre les deux sphères, mais à ce produit augmenté du double du volume d’une sphère qui aurait cette distance pour diamètre.
12.
Si l’on désigne par
l’aire d’une portion quelconque de la surface dont les coordonnées sont
et par
l’aire de la portion correspondante de celle dont les coordonnées sont
on aura, comme l’on sait,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}={\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}\right)^{2}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}\Sigma }{\operatorname {d} t\operatorname {d} u}}={\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} u}}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85f5d1285f305fc3a6ad7e326dba3d1ff7d1735)
donc, en vertu des relations (4),
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\Sigma }{\operatorname {d} t\operatorname {d} u}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7b4e40b5b5019bf6101bd974678af08cf87dcd)
mais, en considérant
comme fonctions de
on aura
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\Sigma }{\operatorname {d} t\operatorname {d} u}}={\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} \Sigma }{\operatorname {d} t}}\right)}{\operatorname {d} u}}={\frac {\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} \Sigma }{\operatorname {d} t}}}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} u}}+{\frac {\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} \Sigma }{\operatorname {d} t}}}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} u}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d64bff1e760b61306684b75a25615bc7234d955)
or, dans la même hypothèse,