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ET DES SURFACES COURBES.

surface des centres dont le rayon est $r+{\frac {1}{2}}a,$ on aura $s=4\varpi (r+{\frac {1}{2}}k)^{2}$. En chassant $r$ de l’expression ci-dessus, au-moyen de cette équation, elle devient, toutes réductions faites,

$ks+2.{\frac {4}{3}}\varpi \left({\frac {k}{2}}\right)^{5}\,;$

ce qui montre que l’espace compris entre deux sphères concentriques n’est pas seulement égal au produit de la surface des centres par la distance entre les deux sphères, mais à ce produit augmenté du double du volume d’une sphère qui aurait cette distance pour diamètre.

12.

Si l’on désigne par $S$ l’aire d’une portion quelconque de la surface dont les coordonnées sont $x,y,z,$ et par $\Sigma$ l’aire de la portion correspondante de celle dont les coordonnées sont $t,u,v,$ on aura, comme l’on sait,

${\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}={\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} y}}\right)^{2}}},\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}\Sigma }{\operatorname {d} t\operatorname {d} u}}={\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} u}}\right)^{2}}}$

donc, en vertu des relations (4),

${\frac {\operatorname {d} ^{2}\Sigma }{\operatorname {d} t\operatorname {d} u}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}\,;$

mais, en considérant $t,u,v,z$ comme fonctions de $x,y,$ on aura

${\frac {\operatorname {d} ^{2}\Sigma }{\operatorname {d} t\operatorname {d} u}}={\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} \Sigma }{\operatorname {d} t}}\right)}{\operatorname {d} u}}={\frac {\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} \Sigma }{\operatorname {d} t}}}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} u}}+{\frac {\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} \Sigma }{\operatorname {d} t}}}{\operatorname {d} y}}.{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} u}},$

or, dans la même hypothèse,