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AU 1.er DEGRÉ.
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}a\ \ x+b\ \ y+c\ \ z+d\ \ &=0,\\a'\,x+b'\,y+c'\,z+d'\,&=0,\\a''x+b''y+c''z+d''&=0,\\\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33027da34deca7a777f73d23c060e40d68a2213b)
(1″)
Si l’on nous donnait la valeur de
, dès-lors ![{\displaystyle cz+d,c'z+d',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f20a5b429fd2c80bd9927d11b4272ff5b125168)
deviendraient des termes connus, et la recherche de
et
rentrerait dans le problème plus que déterminé à deux inconnues qui vient en dernier lieu de nous occuper ; la valeur donnée pour
devrait donc être telle qu’on eut (3″)
![{\displaystyle (a'b''-b'a'')(cz+d)+(a''b-b''a)(c'z+d')+(ab'-ba')(c''z+d'')=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf32def19ae81a35110c43cad9e0391ef70e3837)
mais, si
n’est pas encore déterminé, on se trouvera à temps de faire en sorte que cette dernière équation soit satisfaite ; et il ne s’agira que de prendre
égal à la valeur qu’elle donne pour cette inconnue, c’est-à-dire,
![{\displaystyle z=-{\frac {(a'b''-b'a'')d+(a''b-b''a)d'+(ab'-ba')d''}{(a'b''-b'a'')c+(a''b-b''a)c'+(ab'-ba')c''}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec47abf7bad71ab45b8721deede83b13689387a)
d’où on déduit, par une simple permutation de lettres
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x=-{\frac {(b'c''-c'b'')d+(b''c-c''b)d'+(bc'-cb')d''}{(b'c''-c'b'')a+(b''c-c''b)a'+(bc'-cb')a''}},\\\\&y=-{\frac {(c'a''-a'c'')d+(c''a-a''c)d'+(ca'-ac')d''}{(c'a''-a'c'')b+(c''a-a''c)b'+(ca'-ac')b''}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ba1b846e7e464ae0ab7e9800da92802672a7ad4)
et telles sont, conséquemment, les valeurs de
déduites des équations (1″) ; valeurs dans lesquelles la différence des dénominateurs n’est qu’apparente, comme il est aisé de l’apercevoir.
Si, outre ces trois équations, on avait encore
![{\displaystyle a'''x+b'''y+c'''z+d'''=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca18e512e526d436df3aa9bf0aef887d14f38a12)
(2″)
le problème se trouverait plus que déterminé, et ne pourrait être résolu qu’autant que les valeurs de
déduites des équations (1″), satisferaient à l’équation (2″), c’est-à-dire, qu’autant qu’on aurait