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QUESTIONS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\phi '(x),$

$\phi '$ étant, à l’ordinaire, la dérivée de $\phi .$ Or, $y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}$ est, comme l’on sait l’expression de la sousnormale, de sorte que l’abscisse du pied de la normale est $x+y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=x+\phi '(x)\,;$ et, quant à la longueur de la normale, elle est, comme l’on sait,

$y{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}={\sqrt {y^{2}+\left(y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}={\sqrt {2\phi (x)+\left[\phi (x)\right]^{2}}}\,;$

et puisque l’ordonnée qui répond à l’abscisse $x+\phi '(x)$ doit être égale à cette normale, il faudra que les valeurs de l’une et l’autre résolvent l’équation (1) ; c’est-à-dire qu’on devra avoir

$2\phi (x)+\left[\phi (x)\right]^{2}=2\phi \left[x+\phi '(x)\right].\qquad$(2)

Lors donc qu’on voudra savoir si une courbe, dont l’équation ne renferme que des puissances paires de $y,$ jouit de la propriété dont il s’agit, on résoudra cette équation par rapport à $y^{2},$ dont on prendra la valeur pour $2\phi (x)\,;$ ce qui donnera aussi $\phi (x),$ d’où on conclura $\phi '(x).$ Substituant alors les valeurs de $\phi (x)$ et de $\phi '(x)$ dans l’équation (2), il faudra que ces valeurs la rendent identique.

Si l’équation proposée ne satisfaisait pas généralement à cette condition, mais qu’elle contînt d’ailleurs des coefficiens indéterminés, on pourrait profiter de leur indétermination pour rendre l’équation (2) identique.

Pour appliquer ceci à un exemple, proposons-nous de chercher si, dans les deux premiers degrés, quelques courbes jouissent de la propriété dont il s’agit. Soit pour cela