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RÉSOLUES.
![{\displaystyle \phi (x)=A+Bx+Cx^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb990bad62176392912e9f91335f6bfbb3d9eba)
dans laquelle
sont supposés indéterminés. On en conclura
![{\displaystyle \phi '(x)=B+2Cx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3b5ceafabcb91d71bdb376aa5f94d095a05084)
d’où
![{\displaystyle x+\phi '(x)=B+(1+2C)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf44aa963725993cfd42bb39f562b333f494c6f9)
et, par suite,
![{\displaystyle \phi \left[x+\phi '(x)\right]=A+B\left[B+(1+2C)x\right]+C\left[B+(1+2C)x\right]^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf95664996a8a89d5aeaae46158dbe02b1e49db3)
d’où en substituant dans l’équation (2)
![{\displaystyle 2\left(A+Bx+Cx^{2}\right)+\left(B+2Cx\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e1da4b2c2724b97ab6e2ef1ad104680d95ad2e)
![{\displaystyle =2\left\{A+B\left[B+(1+2C)x\right]+C\left[B+(1+2C)x\right]^{2}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76f0ecea4a73efd797cc78df857decbf717bc42)
En développant, transposant, ordonnant et réduisant, cette équation deviendra
![{\displaystyle (1+2C)\left[B^{2}+4C(B+C)x^{2}\right]=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e0866ea5ad7628f632b9bce2aaac7a67a09b90)
d’où l’on voit que
demeure tout-à-fait indéterminé.
Or, il n’y a que deux moyens de rendre cette équation identique ; le premier est de rendre, à la fois,
et
nuls ; le second est de faire
quel que soit
donc les deux seules fonctions qui résolvent le problème, dans les deux premiers degrés, sont
![{\displaystyle \phi (x)=A,\qquad \phi (x)=A+Bx-{\frac {1}{2}}x^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d17b3f9accc2df3811e5e5fac3cf290a66ba151)
ce qui donne les deux équations