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DÉVELOPPEMENT
De même si,
étant un facteur constant, on avait
![{\displaystyle \bigtriangledown au=a\bigtriangledown u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe64c2d16dbd3ee02d86eee07084f202f844da6e)
nous dirions que la caractéristique
est commutative avec ce facteur. C’est, par exemple, ce qui arrivera, si le mode de dérivation désigné par
consiste à substituer pour
dans
une fonction quelconque de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Mais si, au contraire, le mode de dérivation consistait, par exemple, à prendre le logarithme, le facteur et la caractéristique cesseraient dès-lors d’être commutatifs entre eux, puisque
et
ne sont point la même chose.
Si trois caractéristiques
sont commutatives deux à deux, c’est-à-dire, si l’on a
![{\displaystyle \Lambda \Gamma u=\Gamma \Lambda u,\quad \Lambda \bigtriangledown u=\bigtriangledown \Lambda u,\quad \Gamma \bigtriangledown u=\bigtriangledown \Gamma u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c566af170c118b4315dc92fbff6e704523ec7c)
ces trois caractéristiques seront aussi commutatives entre elles ; c’est-à-dire qu’on aura
![{\displaystyle \Lambda \Gamma \bigtriangledown u=\Lambda \bigtriangledown \Gamma u=\Gamma \Lambda \bigtriangledown u=\Gamma \bigtriangledown \Lambda u=\bigtriangledown \Gamma \Lambda u=\bigtriangledown \Lambda \Gamma u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29785e92e1c1c40932b88ce25469fd9cf44b4d48)
Cela se prouve en changeant
en
dans la première des trois équations de départ, en
dans la seconde, en
dans la troisième ; puis en prenant les dérivées
respectivement, des deux membres des trois mêmes équations, et comparant ensuite les résultats. On a, pour la première transformation,
![{\displaystyle \Lambda \Gamma \bigtriangledown u=\Gamma \Lambda \bigtriangledown u,\quad \Lambda \bigtriangledown \Gamma u=\bigtriangledown \Lambda \Gamma u,\quad \Gamma \bigtriangledown \Lambda u=\bigtriangledown \Gamma \Lambda u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d5cd456aa2bd016a86974ccb61c3da2ceb4933)
et par la seconde
![{\displaystyle \bigtriangledown \Lambda \Gamma u=\bigtriangledown \Gamma \Lambda u,\quad \Gamma \Lambda \bigtriangledown u=\Gamma \bigtriangledown \Lambda u,\quad \Lambda \Gamma \bigtriangledown u=\Lambda \bigtriangledown \Gamma u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27d027902d7045d9f258944a69c5bd26e78019e)
ce qui établit complètement la proposition annoncée.