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FONCTIONS.

$u=u_{0}+\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}{\frac {\Delta }{x}}u_{0}+\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-2}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{2}u_{0}+\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-3}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{3}u_{0}+\ldots$

$+\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-(n-1)}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{n-1}u_{0}+\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-n}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{n}u\,;$

ou encore, en effectuant les opérations qui ne sont qu’indiquées

$u=u_{0}+{\frac {y}{1}}{\frac {\Delta }{x}}u_{0}+{\frac {y}{1}}.{\frac {y-1}{2}}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{2}u_{0}+{\frac {y}{1}}.{\frac {y-1}{2}}.{\frac {y-2}{3}}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{3}u_{0}+\ldots$

$\ldots +{\frac {y}{1}}.{\frac {y-1}{2}}\ldots {\frac {y-n+2}{n-1}}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{n-1}u_{0}+\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-n}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{n}u,$

dont le dernier terme $\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-n}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{n}u$ pourrait se mettre sous une forme plus traitable au moyen de l’intégration par parties ; mais voici, pour le même objet, une méthode moins laborieuse.

Soit

${\frac {\Delta }{y}}z+az=\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{n}u\,;\qquad$(g)

et soit $z_{0}$ ce qui devient $z$ lorsqu’on y fait $y=0\,;$ on aura, par les méthodes connues,

$z=z_{0}+(1-a)^{y}+(1-a)^{y-1}\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}(1-a)^{-y}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{n}u,$

ou encore

$z=z_{0}+(1-a)^{y}+\left({\frac {\Delta }{y}}\right)^{-1}(1-a)^{-(y-k)}\left({\frac {\Delta }{x}}\right)^{n}u\,;\qquad$(h)

pourvu qu’après l’intégration on fasse $k=y-1.$

D’un autre côté, notre formule (3), appliquée à l’intégration de l’équation (g), donne, en posant $\bigtriangledown z={\frac {\Delta }{y}}z,\ \Gamma z=-az,$